1) 2 в степени 2х-3 + 2 в степени 2х+1=136 2) 4 в степени 3-х = 1\64
1) 2 в степени 2х-3 + 2 в степени 2х+1=136 2) 4 в степени 3-х = 1\64
Давайте разберем каждое из уравнений по отдельности.
Упростим уравнение: Заметим, что (2^{2x-3}) и (2^{2x+1}) имеют общую часть (2^{2x}). Перепишем каждую степень: [ 2^{2x-3} = \frac{2^{2x}}{2^3} = \frac{2^{2x}}{8} ] [ 2^{2x+1} = 2^{2x} \cdot 2 = 2 \cdot 2^{2x} ]
Подставим в уравнение: [ \frac{2^{2x}}{8} + 2 \cdot 2^{2x} = 136 ]
Приведем к общему знаменателю: [ \frac{2^{2x}}{8} + \frac{16 \cdot 2^{2x}}{8} = 136 ] [ \frac{2^{2x} + 16 \cdot 2^{2x}}{8} = 136 ] [ \frac{17 \cdot 2^{2x}}{8} = 136 ]
Умножим обе стороны на 8: [ 17 \cdot 2^{2x} = 1088 ]
Разделим обе стороны на 17: [ 2^{2x} = \frac{1088}{17} = 64 ]
Решим уравнение: [ 2^{2x} = 2^6 ] Значит, (2x = 6), и (x = 3).
Представим 4 и 64 как степени 2: [ 4 = 2^2 \quad \text{и} \quad 64 = 2^6 ] [ \frac{1}{64} = 2^{-6} ]
Перепишем уравнение: [ (2^2)^{3-x} = 2^{-6} ]
Упростим левую часть уравнения: [ 2^{2(3-x)} = 2^{-6} ] [ 2^{6-2x} = 2^{-6} ]
Так как основания равны, приравняем степени: [ 6 - 2x = -6 ]
Решим уравнение: [ 6 + 6 = 2x ] [ 12 = 2x ] [ x = 6 ]
В итоге, решения уравнений следующие:
1) Начнем с уравнения 2^(2x-3) + 2^(2x+1) = 136. Заметим, что можно выразить 2^(2x+1) как 22^(2x) = 24^x. Таким образом, уравнение примет вид 2^(2x-3) + 24^x = 136. Далее, перепишем 4^x как (2^2)^x = 2^(2x). Подставим это в уравнение: 2^(2x-3) + 22^(2x) = 136. Теперь объединим слагаемые с одинаковыми основаниями: 2^(2x-3+1) = 136. Упростим: 2^(2x-2) = 136. Теперь выразим 136 как степень 2: 2^7 = 128. Подставим это в уравнение: 2^(2x-2) = 2^7. Следовательно, 2x-2 = 7. Таким образом, x = 4.
2) Решим уравнение 4^(3-x) = 1/64. Заметим, что 1/64 можно выразить как 4^(-3). Подставим это в уравнение: 4^(3-x) = 4^(-3). Теперь, так как основания одинаковы, можно уравнять показатели степени: 3-x = -3. Решая это уравнение, получим x = 6.
1) x = 4 2) x = -2
