1) 5sin²x-12cosx-12=0 2) 10sin²x - 17sinx +6=0 3) 7tgx-12ctgx+8=0 4) 3+sin2x=8cos²x 5) 2sin2x+3cos2x=-2
1) 5sin²x-12cosx-12=0 2) 10sin²x - 17sinx +6=0 3) 7tgx-12ctgx+8=0 4) 3+sin2x=8cos²x 5) 2sin2x+3cos2x=-2
1) sinx = 3/5 or sinx = -4/5 2) sinx = 1/2 or sinx = 3/5 3) tgx = 4/3 or tgx = 2/3 4) sin2x = -5/2 or sin2x = 7/2 5) sin2x = 1/10 or sin2x = -1/10
Давайте рассмотрим решение каждого из уравнений по очереди.
Перепишем уравнение в терминах синусов и косинусов:
[ 5 \sin^2 x - 12 \cos x - 12 = 0 ]
Используем основное тригонометрическое тождество: (\sin^2 x = 1 - \cos^2 x):
[ 5 (1 - \cos^2 x) - 12 \cos x - 12 = 0 ]
Раскроем скобки и приведем подобные члены:
[ 5 - 5 \cos^2 x - 12 \cos x - 12 = 0 ]
[ -5 \cos^2 x - 12 \cos x - 7 = 0 ]
Домножим уравнение на -1:
[ 5 \cos^2 x + 12 \cos x + 7 = 0 ]
Это квадратное уравнение относительно (\cos x). Обозначим (\cos x = t):
[ 5t^2 + 12t + 7 = 0 ]
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта (D):
[ D = 12^2 - 4 \cdot 5 \cdot 7 = 144 - 140 = 4 ]
Корни квадратного уравнения:
[ t_{1,2} = \frac{-12 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{-12 \pm 2}{10} ]
[ t_1 = \frac{-10}{10} = -1, \quad t_2 = \frac{-14}{10} = -1.4 ]
(\cos x) не может быть равен -1.4 (так как (\cos x) лежит в интервале ([-1, 1])). Тогда (\cos x = -1).
Для (\cos x = -1):
[ x = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]
Обозначим (\sin x = t). Тогда уравнение примет вид:
[ 10t^2 - 17t + 6 = 0 ]
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта (D):
[ D = (-17)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 6 = 289 - 240 = 49 ]
Корни квадратного уравнения:
[ t_{1,2} = \frac{17 \pm \sqrt{49}}{20} = \frac{17 \pm 7}{20} ]
[ t_1 = \frac{24}{20} = 1.2, \quad t_2 = \frac{10}{20} = 0.5 ]
(\sin x) не может быть равен 1.2 (так как (\sin x) лежит в интервале ([-1, 1])). Тогда (\sin x = 0.5).
Для (\sin x = 0.5):
[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]
Используем (\cot x = \frac{1}{\tan x}). Обозначим (\tan x = t). Тогда уравнение примет вид:
[ 7t - 12 \frac{1}{t} + 8 = 0 ]
Умножим на (t), чтобы избавиться от дроби:
[ 7t^2 + 8t - 12 = 0 ]
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта (D):
[ D = 8^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-12) = 64 + 336 = 400 ]
Корни квадратного уравнения:
[ t_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{400}}{2 \cdot 7} = \frac{-8 \pm 20}{14} ]
[ t_1 = \frac{12}{14} = \frac{6}{7}, \quad t_2 = \frac{-28}{14} = -2 ]
Для (\tan x = \frac{6}{7}):
[ x = \arctan\left(\frac{6}{7}\right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]
Для (\tan x = -2):
[ x = \arctan(-2) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]
Используем (\sin 2x = 2 \sin x \cos x) и (\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}):
[ 3 + 2 \sin x \cos x = 8 \cdot \frac{1 + \cos 2x}{2} ]
[ 3 + 2 \sin x \cos x = 4 (1 + \cos 2x) ]
[ 3 + 2 \sin x \cos x = 4 + 4 \cos 2x ]
[ 2 \sin x \cos x = 4 \cos 2x + 1 ]
Используем (\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x):
[ 2 \sin x \cos x = 4 (1 - 2 \sin^2 x) + 1 ]
[ 2 \sin x \cos x = 4 - 8 \sin^2 x + 1 ]
[ 2 \sin x \cos x = 5 - 8 \sin^2 x ]
Перепишем это уравнение в стандартной форме:
[ 2 \sin x \cos x + 8 \sin^2 x = 5 ]
Используем (\sin 2x = 2 \sin x \cos x):
[ \sin 2x + 8 \sin^2 x = 5 ]
Заметим, что это сложное уравнение, которое требует более глубокого анализа или численных методов для точного решения.
Используем (\sin 2x = 2 \sin x \cos x) и (\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x):
[ 2 \sin 2x + 3 \cos 2x = -2 ]
Преобразуем выражение:
[ 2 \cdot 2 \sin x \cos x + 3 (1 - 2 \sin^2 x) = -2 ]
[ 4 \sin x \cos x + 3 - 6 \sin^2 x = -2 ]
Приведем подобные члены:
[ 4 \sin x \cos x - 6 \sin^2 x = -5 ]
Снова, это уравнение становится нелинейным и может потребовать численных методов для точного решения.
Таким образом, тригонометрические уравнения могут быть решены, но некоторые из них требуют более сложных методов для полного анализа.
1) Решение уравнения 5sin²x - 12cosx - 12 = 0: Для начала преобразуем данное уравнение, используя тригонометрические тождества: 5sin²x = 5(1 - cos²x) 5(1 - cos²x) - 12cosx - 12 = 0 5 - 5cos²x - 12cosx - 12 = 0 5cos²x + 12cosx - 17 = 0 Теперь представим это уравнение в виде квадратного уравнения относительно cosx: cosx = (-12 ± √(12² - 45(-17))) / (2*5) cosx = (-12 ± √(144 + 340)) / 10 cosx = (-12 ± √484) / 10 cosx = (-12 ± 22) / 10 cosx₁ = 1, cosx₂ = -17/5
2) Решение уравнения 10sin²x - 17sinx + 6 = 0: Решаем данное уравнение как квадратное уравнение относительно sinx: sinx = (17 ± √(17² - 4106)) / (2*10) sinx = (17 ± √(289 - 240)) / 20 sinx = (17 ± √49) / 20 sinx₁ = 1, sinx₂ = 6/10 = 0.6
3) Решение уравнения 7tgx - 12ctgx + 8 = 0: Преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества: 7sinx/cosx - 12cosx/sinx + 8 = 0 7sin²x - 12cos²x + 8sinxcosx = 0 7(1 - cos²x) - 12cos²x + 8sinxcosx = 0 7 - 7cos²x - 12cos²x + 8sinxcosx = 0 19cos²x - 8sinxcosx - 7 = 0
4) Решение уравнения 3 + sin2x = 8cos²x: Преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества: 3 + 2sinxcosx = 8(1 - sin²x) 3 + 2sinxcosx = 8 - 8sin²x 2sinxcosx + 8sin²x = 5
5) Решение уравнения 2sin2x + 3cos2x = -2: Преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества: 2 * 2sinxcosx + 3(2cos²x - 1) = -2 4sinxcosx + 6cos²x - 3 = -2
