1. Дана функция f(x)=x^3-3x^2+1. Найдите: а) промежутки возрастания и убывания функции; б) наибольшее...

Конечно, давайте разберем каждый из вопросов последовательно.

1. Анализ функции ( f(x) = x^3 - 3x^2 + 1 )

а) Промежутки возрастания и убывания функции

Чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции, нужно найти первую производную ( f'(x) ) и исследовать ее знаки.

1. Найдем первую производную: [ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 1) = 3x^2 - 6x. ]

2. Найдем критические точки, решив уравнение ( f'(x) = 0 ): [ 3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0. ] Отсюда получаем ( x = 0 ) и ( x = 2 ).

3. Определим знаки производной на промежутках, разделенных критическими точками: ((-∞, 0)), ( (0, 2) ), и ( (2, ∞) ).

   • На промежутке ((-∞, 0)), выберем точку ( x = -1 ): [ f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0. ] Значит, ( f(x) ) возрастает на ((-∞, 0)).

   • На промежутке ( (0, 2) ), выберем точку ( x = 1 ): [ f'(1) = 3(1)^2 - 6 \cdot 1 = 3 - 6 = -3 < 0. ] Значит, ( f(x) ) убывает на ( (0, 2) ).

   • На промежутке ( (2, ∞) ), выберем точку ( x = 3 ): [ f'(3) = 3(3)^2 - 6 \cdot 3 = 27 - 18 = 9 > 0. ] Значит, ( f(x) ) возрастает на ( (2, ∞) ).

Таким образом, функция возрастает на промежутках ((-∞, 0)) и ( (2, ∞)) и убывает на промежутке ( (0, 2) ).

б) Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-2; 1]

1. Найдем значения функции в критических точках и на концах отрезка:

   • ( f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 + 1 = -8 - 12 + 1 = -19 ).
   • ( f(0) = (0)^3 - 3(0)^2 + 1 = 1 ).
   • ( f(1) = (1)^3 - 3(1)^2 + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 ).

2. Сравним значения:

   • Наименьшее значение на отрезке ([-2, 1]) равно (-19).
   • Наибольшее значение на отрезке ([-2, 1]) равно (1).

2. Уравнение касательной к графику функции ( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 4 ) в точке ( x_0 = 1 )

1. Найдем значение функции в точке ( x_0 = 1 ): [ f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 + 4 = 1 - 3 + 2 + 4 = 4. ]

2. Найдем производную функции: [ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2x + 4) = 3x^2 - 6x + 2. ]

3. Найдем значение производной в точке ( x_0 = 1 ): [ f'(1) = 3 \cdot 1^2 - 6 \cdot 1 + 2 = 3 - 6 + 2 = -1. ]

4. Уравнение касательной в точке ( x_0 ) имеет вид: [ y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0). ]

   Подставим найденные значения: [ y = -1(x - 1) + 4 = -x + 1 + 4 = -x + 5. ]

Таким образом, уравнение касательной к графику функции в точке ( x_0 = 1 ) имеет вид ( y = -x + 5 ).

1. а) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции нужно найти производную функции f(x) и найти ее корни. Производная функции f(x) равна f'(x) = 3x^2 - 6x. Найдем корни этой производной: 3x^2 - 6x = 0 => x(3x - 6) = 0 => x = 0 или x = 2. Теперь построим таблицу знаков: x < 0, x = 0, 0 < x < 2, x = 2, x > 2. Подставив значения из каждого промежутка в производную, получаем знаки: -, 0, +, 0, -. Таким образом, функция f(x) возрастает на промежутке (-∞; 0) и (2; +∞), и убывает на промежутке (0; 2). б) Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [-2; 1] найдем критические точки функции. Найдем производную второго порядка: f''(x) = 6x - 6. Найдем корни уравнения f''(x) = 0: 6x - 6 = 0 => x = 1. Таким образом, критическая точка находится в точке x = 1. Теперь найдем значения функции в крайних точках отрезка и в критической точке: f(-2) = -17, f(1) = -1, f(1) = -1. Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке [-2; 1] равно -17, а наибольшее значение равно -1.

2. Уравнение касательной к графику функции f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 4 в точке с абсциссой x0 = 1 будет иметь вид y = f'(x0)(x - x0) + f(x0), где f'(x0) - значение производной функции в точке x0. Найдем значение производной в точке x = 1: f'(1) = 31^2 - 61 = -3. Теперь подставим значения в уравнение касательной: y = -3(x - 1) + f(1) = -3x + 3 + f(1) = -3x + 3 - 1 = -3x + 2. Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) в точке с абсциссой x0 = 1 будет y = -3x + 2.