1) Известно, что y=F(x) первообразная для функции y=(x^3-81x)*корень из x-5. Cравните F(7) и F(8). 2)...

1) Для начала найдем первообразную функции y=(x^3-81x)корень из x-5. Для этого разложим функцию на две части: x^3корень из x-5 и -81xкорень из x-5. Затем найдем первообразные для каждой из частей. Для первой части получим первообразную F(x) = (1/4)x^4(2/3)x^(1/2) - (5/2)x^(5/2) + C1. Для второй части получим первообразную G(x) = -81*(2/3)x^(3/2) + C2. Итак, первообразная для исходной функции будет y=F(x) + G(x).

Теперь вычислим F(7) и F(8). Для F(7) вместо x подставим 7 и выразим значение функции. Для F(8) вместо x подставим 8 и также выразим значение функции. После этого сравним полученные значения.

2) Найдем определенный интеграл от функции (3x^2-4x+2) в пределах от 0 до a. Для этого найдем первообразную функции и подставим в нее верхний и нижний пределы интегрирования. Затем решим неравенство полученное из этого выражения: S(a)

1) F(7) > F(8) 2) a > 2 3) S = pi/12

Давайте разберем каждый из вопросов по очереди.

1) Сравнение F(7) и F(8)

Дана функция ( y = (x^3 - 81x) \sqrt{x - 5} ). Нам нужно определить первообразную ( F(x) ) и сравнить значения ( F(7) ) и ( F(8) ).

Поскольку ( y = F'(x) ), для нахождения первообразной нам нужно взять интеграл от данной функции:

[ F(x) = \int (x^3 - 81x) \sqrt{x - 5} \, dx. ]

Это интеграл не элементарной функции, и его аналитическое решение требует сложных методов интегрирования, таких как замена переменных или интегрирование по частям. Однако для сравнения значений на отрезке [7, 8], можно проанализировать поведение функции под интегралом.

На промежутке от 7 до 8 выражение ( \sqrt{x - 5} ) положительно, так как ( x - 5 > 0 ). Рассмотрим поведение функции ( (x^3 - 81x) ). На этом промежутке можно численно проверить знаки всех слагаемых и сделать выводы о росте или убывании функции.

При приближенных численных расчетах или графическом анализе можно определять, как ведет себя интеграл. Если функция положительна на всём отрезке, то ( F(8) > F(7) ).

2) Неравенство с параметром ( a )

Требуется решить:

[ \int_{0}^{a} (3x^2 - 4x + 2) \, dx \leq a. ]

Сначала возьмем неопределенный интеграл:

[ \int (3x^2 - 4x + 2) \, dx = x^3 - 2x^2 + 2x + C. ]

Теперь подставим пределы интегрирования и решим:

[ \left[ x^3 - 2x^2 + 2x \right]_{0}^{a} = a^3 - 2a^2 + 2a. ]

Получаем неравенство:

[ a^3 - 2a^2 + 2a \leq a. ]

Переносим все в одну часть:

[ a^3 - 2a^2 + a \leq 0. ]

Решим это кубическое неравенство. Можно вынести ( a ) за скобку:

[ a(a^2 - 2a + 1) \leq 0. ]

Решаем квадратное уравнение ( a^2 - 2a + 1 = 0 ), которое имеет корень ( a = 1 ) (это полный квадрат: ( (a-1)^2 )).

Таким образом, неравенство имеет вид:

[ a(a - 1)^2 \leq 0. ]

Поскольку квадратичная часть всегда неотрицательна, то ( a \leq 0 ) при ( a = 0 ) и ( a = 1 ).

Однако ( a ) должно быть положительным, следовательно, ( a = 1 ).

3) Вычисление определенного интеграла

Необходимо вычислить:

[ \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sin^2(3x) \, dx. ]

Для этого используем тригонометрическую тождество:

[ \sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}. ]

Подставляем:

[ \int{0}^{\frac{\pi}{6}} \sin^2(3x) \, dx = \int{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1 - \cos(6x)}{2} \, dx. ]

Разделим интеграл:

[ = \frac{1}{2} \int{0}^{\frac{\pi}{6}} 1 \, dx - \frac{1}{2} \int{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos(6x) \, dx. ]

Первый интеграл:

[ \frac{1}{2} \int{0}^{\frac{\pi}{6}} 1 \, dx = \frac{1}{2} \left[ x \right]{0}^{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{6} - 0 \right) = \frac{\pi}{12}. ]

Второй интеграл:

[ -\frac{1}{2} \int{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos(6x) \, dx = -\frac{1}{2} \left[ \frac{\sin(6x)}{6} \right]{0}^{\frac{\pi}{6}}. ]

[ = -\frac{1}{2} \left( \frac{\sin(\pi)}{6} - \frac{\sin(0)}{6} \right) = 0. ]

Таким образом, интеграл равен:

[ \frac{\pi}{12}. ]

Вот наши решения для всех трех пунктов.