Давайте разберем каждый из данных примеров, используя правила работы со степенями.
- ( x^7 \cdot x^5 )
По правилу умножения степеней с одинаковым основанием, степени складываются:
[ x^7 \cdot x^5 = x^{7+5} = x^{12} ]
- ( x^7 : x^5 )
По правилу деления степеней с одинаковым основанием, степени вычитаются:
[ x^7 : x^5 = x^{7-5} = x^2 ]
- ( (x^7)^5 )
По правилу возведения степени в степень, степени перемножаются:
[ (x^7)^5 = x^{7 \cdot 5} = x^{35} ]
- ( (x^3)^6 \cdot x^4 )
Сначала решим возведение в степень:
[ (x^3)^6 = x^{3 \cdot 6} = x^{18} ]
Теперь умножим полученное значение на ( x^4 ):
[ x^{18} \cdot x^4 = x^{18+4} = x^{22} ]
Теперь сложим все результаты и разделим на ( x^{18} ):
[ \frac{x^{12} + x^2 + x^{35} + x^{22}}{x^{18}} ]
Разделим каждое слагаемое числителя на знаменатель, используя правило деления степеней:
[ \frac{x^{12}}{x^{18}} = x^{12-18} = x^{-6} ]
[ \frac{x^2}{x^{18}} = x^{2-18} = x^{-16} ]
[ \frac{x^{35}}{x^{18}} = x^{35-18} = x^{17} ]
[ \frac{x^{22}}{x^{18}} = x^{22-18} = x^4 ]
Итак, конечный результат:
[ x^{-6} + x^{-16} + x^{17} + x^4 ]
Таким образом, итоговая форма выражения будет:
[ x^{-6} + x^{-16} + x^{17} + x^4 ]
Если вам нужно записать это в другом виде или провести дальнейшее упрощение, пожалуйста, уточните.