1) корень 3 степени из 9* на корень 6 степени из 9 2) корень 7 степени из 16* на корень 7 степени из...

1) Для выражения корня 3 степени из 9 на корень 6 степени из 9, сначала найдем корень 3 степени из 9, который равен 3. Затем найдем корень 6 степени из 9, который также равен 3. Таким образом, результатом будет 33 = 9.

2) Для выражения корня 7 степени из 16 на корень 7 степени из (-8), сначала найдем корень 7 степени из 16, который равен 2. Затем корень 7 степени из (-8) равен -2. Поэтому результатом будет 2(-2) = -4.

3) Для выражения корня 5 степени из 27 на корень пятой степени из 9, сначала найдем корень 5 степени из 27, который равен 3. Затем корень пятой степени из 9 также равен 3. Поэтому результатом будет 33 = 9.

4) Для выражения корня 3 степени из (-25) на корень 6 степени из 25, сначала найдем корень 3 степени из (-25), который равен -2. Затем корень 6 степени из 25 равен 5. Поэтому результатом будет -2*5 = -10.

Давайте подробно разберем каждый из этих примеров:

1) (\sqrt[3]{9} \times \sqrt[6]{9})

Когда мы работаем с корнями, мы можем использовать свойства степеней. В данном случае, мы имеем дело с произведением корней. Для упрощения можно использовать следующее свойство:

[ \sqrt[n]{a} \times \sqrt[m]{a} = \sqrt[\text{НОК}(n, m)]{a^{\frac{1}{n} + \frac{1}{m}}} ]

Где (\text{НОК}(n, m)) — это наименьшее общее кратное чисел (n) и (m).

Для данного примера:

• (n = 3) и (m = 6)
• НОК(3, 6) = 6

Таким образом, мы можем записать:

[ \sqrt[3]{9} \times \sqrt[6]{9} = \sqrt[6]{9^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}} ]

Приведем показатели к общему знаменателю:

[ \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} ]

Тогда:

[ \sqrt[6]{9^{\frac{1}{2}}} = \sqrt[6]{\sqrt{9}} = \sqrt[6]{3} ]

2) (\sqrt[7]{16} \times \sqrt[7]{-8})

Здесь оба корня имеют одинаковую степень, что упрощает задачу. Мы можем умножить подкоренные выражения:

[ \sqrt[7]{16} \times \sqrt[7]{-8} = \sqrt[7]{16 \times (-8)} ]

Произведение под корнем:

[ 16 \times (-8) = -128 ]

Таким образом, результат:

[ \sqrt[7]{-128} ]

Отрицательное число под нечетным корнем возможно, и результат останется действительным числом.

3) (\sqrt[5]{27} \times \sqrt[5]{9})

Опять-таки, оба корня имеют одинаковую степень, поэтому мы можем умножить подкоренные выражения:

[ \sqrt[5]{27} \times \sqrt[5]{9} = \sqrt[5]{27 \times 9} ]

Произведение под корнем:

[ 27 \times 9 = 243 ]

Таким образом, результат:

[ \sqrt[5]{243} ]

4) (\sqrt[3]{-25} \times \sqrt[6]{25})

Используем то же свойство степеней:

[ \sqrt[3]{-25} \times \sqrt[6]{25} = \sqrt[\text{НОК}(3, 6)]{(-25)^{\frac{1}{3}} \times 25^{\frac{1}{6}}} ]

НОК(3, 6) = 6

Таким образом:

[ \sqrt[6]{(-25)^{\frac{1}{3}} \times 25^{\frac{1}{6}}} ]

Упростим выражение внутри корня:

[ (-25)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{-25} ] [ 25^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{25} ]

То есть:

[ \sqrt[6]{\sqrt[3]{-25} \times \sqrt[6]{25}} ]

Упрощение требует более сложных вычислений, но основное преобразование выполнено.

Итак, каждый из данных примеров требует аккуратного использования свойств корней и степеней для упрощения выражений.