1) log5 x + logx 5 = 2,5 2) lg^2 x-2 lg x^2 +3 =0

1) x = 5 2) x = 1

Рассмотрим по очереди каждое уравнение.

1. Уравнение: (\log_5 x + \log_x 5 = 2.5)

Для решения этого уравнения начнем с упрощения выражений. Обозначим (\log_5 x = a).

Тогда: [ \log_x 5 = \frac{1}{\log_5 x} = \frac{1}{a} ]

Уравнение примет вид: [ a + \frac{1}{a} = 2.5 ]

Умножим обе части на (a) для удобства: [ a^2 + 1 = 2.5a ]

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду: [ a^2 - 2.5a + 1 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта (D): [ D = b^2 - 4ac = (2.5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 6.25 - 4 = 2.25 ]

Корни уравнения: [ a_{1,2} = \frac{2.5 \pm \sqrt{2.25}}{2} = \frac{2.5 \pm 1.5}{2} ]

Таким образом, получаем два корня: [ a_1 = \frac{4}{2} = 2 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{1}{2} ]

Вернемся к нашему обозначению (\log_5 x = a):

1. Если (\log_5 x = 2), то (x = 5^2 = 25).

2. Если (\log_5 x = \frac{1}{2}), то (x = 5^{1/2} = \sqrt{5}).

Тогда, решения уравнения будут (x = 25) или (x = \sqrt{5}).

2. Уравнение: (\lg^2 x - 2 \lg x^2 + 3 = 0)

Начнем с упрощения выражения. Заметим, что (\lg x^2 = 2 \lg x). Тогда уравнение примет вид: [ \lg^2 x - 2 \cdot 2 \lg x + 3 = 0 ] [ \lg^2 x - 4 \lg x + 3 = 0 ]

Обозначим (\lg x = t), тогда уравнение примет вид: [ t^2 - 4t + 3 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение: [ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 ]

Корни уравнения: [ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} ]

Таким образом, получаем два корня: [ t_1 = \frac{6}{2} = 3 \quad \text{и} \quad t_2 = \frac{2}{2} = 1 ]

Вернемся к нашему обозначению (\lg x = t):

1. Если (\lg x = 3), то (x = 10^3 = 1000).

2. Если (\lg x = 1), то (x = 10^1 = 10).

Тогда, решения уравнения будут (x = 1000) или (x = 10).

Итог

Для первого уравнения (\log_5 x + \log_x 5 = 2.5) решения: (x = 25) и (x = \sqrt{5}).

Для второго уравнения (\lg^2 x - 2 \lg x^2 + 3 = 0) решения: (x = 1000) и (x = 10).

1) Решим уравнение log5 x + logx 5 = 2,5: Применим свойства логарифмов: loga b + loga c = loga bc Тогда получим: log5 (x * 5) = 2,5 log5 (5x) = 2,5 5x = 5^2,5 5x = √5^5 5x = 5^2,5 5x = 25 x = 5

Ответ: x = 5

2) Решим уравнение lg^2 x - 2lg x^2 + 3 = 0: Преобразуем выражение: (lg x)^2 - 2 2 lg x + 3 = 0 Обозначим lg x за t: t^2 - 4t + 3 = 0 Факторизуем: (t - 1)(t - 3) = 0 Получаем два корня: t1 = 1 и t2 = 3 Вернемся к обозначению: t1 = lg x = 1 и t2 = lg x = 3 Решая уравнения, получаем: x1 = 10 и x2 = 1000

Ответ: x1 = 10, x2 = 1000