1) Найти скалярное произведение векторов если: а) |a|=5; |b|=√2; Q=45градусов б){3;-2} и b {5;2} 2)...

1) а) Скалярное произведение векторов a и b равно |a| |b| cos(Q) = 5 √2 cos(45) = 5 √2 √2 / 2 = 5 б) Скалярное произведение векторов {3;-2} и {5;2} равно 3 5 + (-2) 2 = 15 - 4 = 11

2) Косинус угла между векторами a{3;0} и b{3;4} равен (a b) / (|a| |b|) = (3 3 + 0 4) / (3 √(3^2 + 0^2) √(3^2 + 4^2)) = 9 / (3 3 5) = 9 / 15 = 0.6

1) а) Скалярное произведение векторов a и b вычисляется по формуле: a b = |a| |b| cos(Q), где |a| и |b| - длины векторов, Q - угол между ними. Подставляем значения: a b = 5 √2 cos(45) = 5 √2 √2 / 2 = 5.

б) Векторы даны в виде координат. Скалярное произведение векторов a и b равно сумме произведений соответствующих координат: a b = 3 5 + (-2) * 2 = 15 - 4 = 11.

2) Косинус угла между векторами a и b вычисляется по формуле: cos(θ) = (a b) / (|a| |b|), где θ - угол между векторами. Подставляем значения: cos(θ) = (3 3 + 0 4) / (|3| |4|) = 9 / (3 4) = 9 / 12 = 3 / 4.

Таким образом, косинус угла между векторами a{3;0} и b{3;4} равен 3/4.

Конечно, разберём оба вопроса по очереди.

1. Найти скалярное произведение векторов

а) Даны величины векторов и угол между ними:

• ( |a| = 5 )
• ( |b| = \sqrt{2} )
• ( \theta = 45^\circ )

Скалярное произведение двух векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) определяется как: [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |a| \cdot |b| \cdot \cos(\theta) ]

Для угла ( \theta = 45^\circ ): [ \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

Теперь подставим все значения: [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 5 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} ]

Упростим выражение: [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 5 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5 \cdot \frac{2}{2} = 5 ]

Итак, скалярное произведение векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) равно 5.

б) Даны координаты векторов:

• ( \mathbf{a} = {3; -2} )
• ( \mathbf{b} = {5; 2} )

Скалярное произведение векторов в координатной форме определяется как: [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 ]

Подставим значения: [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 3 \cdot 5 + (-2) \cdot 2 ] [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 15 - 4 ] [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 11 ]

Итак, скалярное произведение векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) равно 11.

2. Найдите косинус угла между векторами:

Даны координаты векторов:

• ( \mathbf{a} = {3; 0} )
• ( \mathbf{b} = {3; 4} )

Косинус угла между двумя векторами определяется как: [ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|a| \cdot |b|} ]

Сначала найдём скалярное произведение ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ): [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 3 \cdot 3 + 0 \cdot 4 ] [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 9 ]

Теперь найдём длины векторов ( |a| ) и ( |b| ): [ |a| = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3 ] [ |b| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 ]

Теперь можем найти косинус угла: [ \cos(\theta) = \frac{9}{3 \cdot 5} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} = 0.6 ]

Итак, косинус угла между векторами ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) равен 0.6.

Надеюсь, это поможет! Если есть ещё вопросы, обращайтесь.