1) первый член геометрической прогрессии равен 2 а знаменатель равен -3 найдите пятый член этой прогрессии...

Для решения задач по геометрической прогрессии, напомним основные формулы. Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянное число, называемое знаменателем прогрессии (обозначим его как ( q )).

1. Найти пятый член геометрической прогрессии:

   Условие: первый член ( a_1 = 2 ), знаменатель ( q = -3 ).

   Формула для ( n )-го члена геометрической прогрессии:

   [ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} ]

   Для пятого члена (( n = 5 )):

   [ a_5 = 2 \cdot (-3)^{5-1} = 2 \cdot (-3)^4 ]

   Вычисляем ( (-3)^4 ):

   [ (-3)^4 = 81 ]

   Подставляем обратно в формулу:

   [ a_5 = 2 \cdot 81 = 162 ]

   Следовательно, пятый член прогрессии равен 162.

2. Найти седьмой член геометрической прогрессии:

   Условие: шестой член ( a_6 = 4 ), четвёртый член ( a_4 = 9 ).

   Используем формулу для ( n )-го члена:

   [ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} ]

   У нас есть два уравнения:

   [ a_4 = a_1 \cdot q^3 = 9 ]

   [ a_6 = a_1 \cdot q^5 = 4 ]

   Чтобы найти ( q ), делим второе уравнение на первое:

   [ \frac{a_6}{a_4} = \frac{a_1 \cdot q^5}{a_1 \cdot q^3} = q^2 = \frac{4}{9} ]

   Находим ( q ):

   [ q = \pm\sqrt{\frac{4}{9}} = \pm\frac{2}{3} ]

   Теперь найдем ( a_1 ) для каждого ( q ).

   Если ( q = \frac{2}{3} ):

   [ a_1 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3 = 9 ]

   [ a_1 \cdot \frac{8}{27} = 9 ]

   [ a_1 = 9 \cdot \frac{27}{8} = \frac{243}{8} ]

   Если ( q = -\frac{2}{3} ):

   [ a_1 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^3 = 9 ]

   [ a_1 \cdot \left(-\frac{8}{27}\right) = 9 ]

   [ a_1 = 9 \cdot \left(-\frac{27}{8}\right) = -\frac{243}{8} ]

   Теперь находим ( a_7 ) для каждого случая:

   Если ( q = \frac{2}{3} ):

   [ a_7 = \frac{243}{8} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^6 ]

   [ \left(\frac{2}{3}\right)^6 = \frac{64}{729} ]

   [ a_7 = \frac{243}{8} \cdot \frac{64}{729} = \frac{243 \cdot 64}{8 \cdot 729} = \frac{64}{24} = \frac{8}{3} ]

   Если ( q = -\frac{2}{3} ):

   [ a_7 = -\frac{243}{8} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^6 = -\frac{243}{8} \cdot \frac{64}{729} = -\frac{8}{3} ]

   Таким образом, седьмой член может быть ( \frac{8}{3} ) или (-\frac{8}{3}) в зависимости от знака знаменателя.

1) Для нахождения пятого члена геометрической прогрессии с первым членом (a = 2) и знаменателем (q = -3) мы можем использовать формулу (a_n = a_1 \cdot q^{n-1}), где (a_n) - это искомый член прогрессии, (a_1) - первый член прогрессии, (q) - знаменатель прогрессии, а (n) - номер искомого члена.

Подставляем известные значения: (a_1 = 2, q = -3, n = 5): (a_5 = 2 \cdot (-3)^{5-1} = 2 \cdot (-3)^4 = 2 \cdot 81 = 162).

Итак, пятый член этой геометрической прогрессии равен 162.

2) Для нахождения седьмого члена геометрической прогрессии с шестым членом (a_6 = 4) и четвёртым членом (a_4 = 9) мы можем использовать формулу (a_n = a_1 \cdot q^{n-1}), где (a_n) - это искомый член прогрессии, (a_1) - первый член прогрессии, (q) - знаменатель прогрессии, а (n) - номер искомого члена.

Мы знаем, что (a_6 = 4), значит (n = 6) и (a_1 \cdot q^{5} = 4). Также мы знаем, что (a_4 = 9), значит (n = 4) и (a_1 \cdot q^{3} = 9).

Разделим уравнения: (\frac{a_1 \cdot q^{5}}{a_1 \cdot q^{3}} = \frac{4}{9}), что равно (q^{2} = \frac{4}{9}), следовательно, (q = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}).

Теперь можем найти первый член: (a_4 = a_1 \cdot (\frac{2}{3})^{3} = 9). Решив уравнение, получим, что (a_1 = 27).

Теперь используем формулу для нахождения седьмого члена ((n = 7)): (a_7 = 27 \cdot (\frac{2}{3})^{6} = 27 \cdot \frac{64}{729} = \frac{1728}{27} = 64).

Итак, седьмой член этой геометрической прогрессии равен 64.