- Сколькими способами из 12 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 7 различных уроков?
- Сколькими способами из 31 ученика класса можно выбрать 5 для участия в концерте?
Для составления расписания учебного дня из 7 различных уроков из 12 учебных предметов мы можем воспользоваться формулой комбинаторики - сочетаний. Количество способов составить расписание будет равно С(12, 7), где С(n, k) - это число сочетаний из n по k и равно n! / (k! (n - k)!). Таким образом, С(12, 7) = 12! / (7! (12 - 7)!) = 792 способа.
Для выбора 5 учеников из 31 для участия в концерте также используем формулу комбинаторики - сочетаний. Количество способов выбрать 5 учеников будет равно С(31, 5), где С(n, k) - это число сочетаний из n по k и равно n! / (k! (n - k)!). Таким образом, С(31, 5) = 31! / (5! (31 - 5)!) = 736,281 способ.
[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ]
где ( n ) - общее количество предметов (12), а ( k ) - количество предметов, которые нужно выбрать (7). Подставляя значения, получаем:
[ C(12, 7) = \frac{12!}{7! \cdot (12-7)!} = \frac{12!}{7! \cdot 5!} ]
Это даст нам количество способов выбрать 7 предметов из 12. Но так как порядок уроков в дне также важен, каждую выбранную комбинацию из 7 предметов можно переставлять 7! способами (где "!" означает факториал, который равен произведению всех целых чисел от 1 до данного числа включительно).
Таким образом, общее количество способов составить расписание:
[ C(12, 7) \times 7! = \frac{12!}{5!} ]
[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ]
где ( n = 31 ) (общее количество учеников), ( k = 5 ) (количество учеников для выбора):
[ C(31, 5) = \frac{31!}{5! \cdot (31-5)!} = \frac{31!}{5! \cdot 26!} ]
Это число показывает, сколькими способами можно выбрать 5 учеников из 31, не учитывая порядок их выбора.
Таким образом, ответы на ваши вопросы следующие:
