1. Сократить дробь: 4а²+12а+9 2а²+а-3 Помогите пожалуйста,срочно надо!

Для сокращения дроби нужно разложить числитель и знаменатель на множители и сократить общие множители. В данном случае дробь равна 2а+3.

Чтобы сократить дробь (\frac{4a^2 + 12a + 9}{2a^2 + a - 3}), сначала необходимо разложить числитель и знаменатель на множители. Давайте рассмотрим каждый из них по отдельности.

Шаг 1: Разложение числителя

Числитель: (4a^2 + 12a + 9)

Это квадратный трёхчлен. Попробуем разложить его на множители. Обратите внимание, что (4a^2 + 12a + 9) можно записать как ((2a + 3)^2).

Проверим, раскрыв скобки: [ (2a + 3)^2 = (2a + 3)(2a + 3) = 4a^2 + 6a + 6a + 9 = 4a^2 + 12a + 9 ]

Так что числитель действительно равен ((2a + 3)^2).

Шаг 2: Разложение знаменателя

Знаменатель: (2a^2 + a - 3)

Для разложения этого квадратного трёхчлена на множители можно использовать метод подбора корней или формулу для решения квадратных уравнений ((a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})).

1. Найдем дискриминант ((D)): [ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 ]

2. Найдем корни уравнения (2a^2 + a - 3 = 0): [ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 5}{4} ]

Таким образом, корни будут: [ a_1 = \frac{-1 + 5}{4} = 1, \quad a_2 = \frac{-1 - 5}{4} = -\frac{3}{2} ]

Значит, знаменатель можно разложить как: [ 2a^2 + a - 3 = 2(a - 1)(a + \frac{3}{2}) ]

Для удобства дальнейшего сокращения можем переписать (a + \frac{3}{2}) как (\frac{2a + 3}{2}): [ 2a^2 + a - 3 = 2(a - 1)\left(\frac{2a + 3}{2}\right) = (a - 1)(2a + 3) ]

Шаг 3: Сокращение дроби

Теперь, когда числитель и знаменатель разложены на множители, мы можем записать дробь: [ \frac{(2a+3)^2}{(a-1)(2a+3)} ]

Сократим общие множители ((2a + 3)): [ \frac{(2a+3)^2}{(a-1)(2a+3)} = \frac{2a+3}{a-1} ]

Ответ

Таким образом, сокращённая форма дроби (\frac{4a^2 + 12a + 9}{2a^2 + a - 3}) будет: [ \frac{2a + 3}{a - 1} ]

Для сокращения данной дроби, сначала выразим числитель и знаменатель в виде произведения двух множителей:

4a² + 12a + 9 = (2a + 3)(2a + 3) 2a² + a - 3 = (2a + 3)(a - 1)

Теперь подставим полученные выражения в дробь:

(2a + 3)(2a + 3) / (2a + 3)(a - 1)

Заметим, что (2a + 3) сокращается, и в итоге получаем:

(2a + 3) / (a - 1)

Таким образом, мы сократили данную дробь до более простого вида.