1. Упростите выражения: а) 1 - sin2 альфа / cos2 альфа б) 1 - cos 2 альфа / 1 - sin2 альфа в)( 1+ tg2...

Конечно, давайте разберем каждый из вопросов подробно.

1. Упростите выражения:

а) (\frac{1 - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha})

Используя основное тригонометрическое тождество (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1), можно переписать: [ 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha ]

Таким образом, выражение упрощается до: [ \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = 1 ]

б) (\frac{1 - \cos 2\alpha}{1 - \sin^2 \alpha})

Используя двойное угловое тождество, знаем, что: [ \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha ]

Тогда: [ 1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2 \alpha ]

И, как указано выше, (1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha).

Таким образом выражение упрощается до: [ \frac{2\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = 2\tan^2 \alpha ]

в) ((1 + \tan^2 \alpha) \cdot \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)

Используем тождество: (1 + \tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}).

Подставляем: [ \left(\frac{1}{\cos^2 \alpha}\right) \cdot \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha]

И упрощаем: [ 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha ]

г) ((\cot^2 \alpha + 1) \cdot \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)

Используя тождество: (\cot^2 \alpha + 1 = \csc^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}).

Подставляем: [ \left(\frac{1}{\sin^2 \alpha}\right) \cdot \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha ]

И упрощаем: [ 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha ]

2. Найдите (\cos \alpha), если известно, что (\sin \alpha = \frac{1}{5}) и (\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi)

В указанном интервале (\cos \alpha) будет отрицательным. Используем тождество: [ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 ] Подставляем (\sin \alpha): [ \left(\frac{1}{5}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 ] [ \frac{1}{25} + \cos^2 \alpha = 1 ] [ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25} ] [ \cos \alpha = -\sqrt{\frac{24}{25}} = -\frac{\sqrt{24}}{5} = -\frac{2\sqrt{6}}{5} ]

3. Упростите выражения:

а) (1 - \sin^2 x)

По основному тригонометрическому тождеству: [ 1 - \sin^2 x = \cos^2 x ]

б) (1 - \cos^2 x)

Также по основному тригонометрическому тождеству: [ 1 - \cos^2 x = \sin^2 x ]

в) (1 - \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)

Опять же, используя основное тригонометрическое тождество: [ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 ]

Таким образом: [ 1 - (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = 1 - 1 = 0 ]

Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!

1. а) Упростим выражение 1 - sin^2(alpha) / cos^2(alpha): 1 - sin^2(alpha) = cos^2(alpha) / cos^2(alpha) = 1

б) Упростим выражение 1 - cos(2alpha) / 1 - sin^2(alpha): 1 - cos(2alpha) = 1 - (cos^2(alpha) - sin^2(alpha)) = sin^2(alpha) + 1 1 - sin^2(alpha) = cos^2(alpha) Получаем: (sin^2(alpha) + 1) / cos^2(alpha)

в) Упростим выражение (1 + tg^2(alpha)) cos^2(alpha) - sin^2(alpha): tg^2(alpha) = (sin^2(alpha) / cos^2(alpha)) Подставляем: (1 + (sin^2(alpha) / cos^2(alpha))) cos^2(alpha) - sin^2(alpha) = cos^2(alpha) + sin^2(alpha) - sin^2(alpha) = cos^2(alpha)

г) Упростим выражение (ctg^2(alpha) + 1) sin^2(alpha) - cos^2(alpha): ctg^2(alpha) = (cos^2(alpha) / sin^2(alpha)) Подставляем: ((cos^2(alpha) / sin^2(alpha)) + 1) sin^2(alpha) - cos^2(alpha) = cos^2(alpha) + sin^2(alpha) - cos^2(alpha) = sin^2(alpha)

1. Из условия sin(alpha) = 1/5 и pi/2 < alpha < pi следует, что cos(alpha) < 0. Так как sin(alpha) > 0 и cos(alpha) < 0, то sin^2(alpha) + cos^2(alpha) = 1. Тогда cos^2(alpha) = 1 - sin^2(alpha) = 1 - (1/5)^2 = 24/25. Получаем cos(alpha) = -sqrt(24/25) = -4/5.

3. а) Упростим выражение 1 - sin^2(x): 1 - sin^2(x) = cos^2(x)

б) Упростим выражение 1 - cos^2(x): 1 - cos^2(x) = sin^2(x)

в) Упростим выражение 1 - cos^2(alpha) - sin^2(alpha): 1 - cos^2(alpha) - sin^2(alpha) = cos^2(alpha) - cos^2(alpha) = 0