1. В круге случайным образом выбирается точка. Найдите вероятность того что эта точка принадлежит вписанному...

Для того чтобы найти вероятность того, что случайно выбранная точка принадлежит вписанному в круг квадрату, нужно сначала рассмотреть геометрические особенности данной задачи.

Вписанный в круг квадрат будет иметь сторону, равную диаметру круга, так как диагональ квадрата будет равна диаметру круга и проходит через его центр. Поэтому сторона вписанного квадрата равна двум радиусам круга.

Теперь рассмотрим, какие точки попадают внутрь вписанного квадрата. Любая точка внутри круга, которая находится на расстоянии не более одного радиуса от центра круга, будет принадлежать вписанному квадрату. Так как вписанный квадрат имеет сторону, равную двум радиусам, то площадь вписанного квадрата будет равна четырем площадям круга, ограниченного радиусом.

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка принадлежит вписанному квадрату, равна отношению площади вписанного квадрата к площади круга. Поскольку площадь круга равна pir^2, а площадь вписанного квадрата равна (2r)^2 = 4r^2, то вероятность равна 4/pi, что примерно 0.6366 или около 63.66%.

Для решения задачи о нахождении вероятности того, что случайно выбранная точка в круге принадлежит вписанному в него квадрату, нам нужно рассмотреть площади круга и вписанного квадрата.

Обозначим радиус круга как ( R ).

Шаг 1: Найти площадь круга

Площадь круга ( S{\text{круг}} ) вычисляется по формуле: [ S{\text{круг}} = \pi R^2 ]

Шаг 2: Найти площадь вписанного квадрата

Чтобы найти площадь вписанного в круг квадрата, нужно понять размеры стороны квадрата. Вписанный квадрат имеет диагональ, равную диаметру круга, то есть ( 2R ).

Из геометрии известно, что если диагональ квадрата равна ( d ), то сторона квадрата ( a ) вычисляется по формуле: [ a = \frac{d}{\sqrt{2}} ]

В нашем случае диагональ ( d = 2R ), поэтому сторона квадрата ( a ) равна: [ a = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2} ]

Теперь можем найти площадь квадрата ( S{\text{квадрат}} ): [ S{\text{квадрат}} = a^2 = (R\sqrt{2})^2 = 2R^2 ]

Шаг 3: Найти вероятность

Вероятность ( P ) того, что случайно выбранная точка в круге принадлежит вписанному в него квадрату, равна отношению площади квадрата к площади круга: [ P = \frac{S{\text{квадрат}}}{S{\text{круг}}} = \frac{2R^2}{\pi R^2} = \frac{2}{\pi} ]

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка в круге принадлежит вписанному в него квадрату, равна: [ P = \frac{2}{\pi} ]

Это численное значение приблизительно равно: [ P \approx 0.6366 ]

Таким образом, вероятность составляет примерно 63.66%.