12-корень третьей степени из 16y=корень третьей степени из 32y^2

Чтобы решить уравнение ( 12 - \sqrt[3]{16y} = \sqrt[3]{32y^2} ), начнем с изоляции кубических корней и дальнейшего упрощения.

1. Изолируем кубические корни:

   [ 12 = \sqrt[3]{32y^2} + \sqrt[3]{16y} ]

2. Преобразуем уравнение:

   Можно представить числа под корнями в виде степеней двойки:

   [ \sqrt[3]{16y} = \sqrt[3]{2^4 \cdot y} = 2^{4/3} \cdot y^{1/3} ]

   [ \sqrt[3]{32y^2} = \sqrt[3]{2^5 \cdot y^2} = 2^{5/3} \cdot y^{2/3} ]

3. Подставим преобразованные выражения обратно в уравнение:

   [ 12 = 2^{5/3} \cdot y^{2/3} + 2^{4/3} \cdot y^{1/3} ]

4. Далее упростим уравнение:

   Введем замену: ( x = y^{1/3} ). Тогда ( y^{2/3} = x^2 ) и ( y = x^3 ).

   Уравнение становится:

   [ 12 = 2^{5/3} \cdot x^2 + 2^{4/3} \cdot x ]

5. Решим полученное уравнение:

   Это квадратное уравнение относительно ( x ):

   [ 2^{5/3} \cdot x^2 + 2^{4/3} \cdot x - 12 = 0 ]

   Обозначим коэффициенты:

   • ( a = 2^{5/3} )
   • ( b = 2^{4/3} )
   • ( c = -12 )

   Используем формулу для решения квадратного уравнения:

   [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

   Подставим значения:

   [ x = \frac{-2^{4/3} \pm \sqrt{(2^{4/3})^2 - 4 \cdot 2^{5/3} \cdot (-12)}}{2 \cdot 2^{5/3}} ]

6. Вычислим дискриминант:

   [ b^2 - 4ac = (2^{4/3})^2 - 4 \cdot 2^{5/3} \cdot (-12) ]

   [ b^2 = 2^{8/3}, \quad 4ac = 4 \cdot 2^{5/3} \cdot 12 = 48 \cdot 2^{5/3} ]

   [ b^2 - 4ac = 2^{8/3} + 48 \cdot 2^{5/3} ]

   [ b^2 - 4ac = 2^{5/3} (2^{3/3} + 48) = 2^{5/3} (2 + 48) = 2^{5/3} \cdot 50 ]

7. Найдем корни:

   [ x = \frac{-2^{4/3} \pm \sqrt{2^{5/3} \cdot 50}}{2 \cdot 2^{5/3}} ]

   Упростив выражение под корнем, можно будет найти конкретные значения для ( x ), а затем вычислить ( y = x^3 ).

   В данной ситуации, без численного упрощения, решение уравнения требует дополнительных вычислений или использования численных методов для получения точных значений.

Для решения данного уравнения сначала приведем его к более удобному виду.

12√(16y) = ∛(32y^2)

Упростим выражения под корнями:

12√(16y) = 12√(2^4 y) = 12 2 * √y = 24√y

∛(32y^2) = ∛(2^5 * y^2) = 2y∛2

Теперь уравнение примет вид:

24√y = 2y∛2

Разделим обе части уравнения на y:

24/2 = 2∛2/√y

12 = 2∛2/√y

Упростим:

12 = 2√(2/y)

Возводим обе части уравнения в квадрат:

144 = 4 * (2/y)

144 = 8/y

Умножаем обе части на y:

144y = 8

y = 8/144

y = 1/18

Итак, решение уравнения 12√(16y) = ∛(32y^2) равно y = 1/18.

y=2