15-го января планируется взять кредит в банке на 14 месяцев. Условия его возврата таковы: -1-го числа...

Давайте разберемся с условиями задачи и найдем значение ( r ).

Пусть ( S ) — сумма, взятая в кредит 15-го января. Тогда 15-го февраля долг возрастает на ( r\% ), и мы обозначим долг на 15 февраля как ( S_1 ). Так как долг возрастает на ( r\% ), то

[ S_1 = S \cdot (1 + \frac{r}{100}). ]

Из условия известно, что 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше, чем долг на 15 число предыдущего месяца. Обозначим эту сумму уменьшения долга как ( d ). Таким образом, долг на 15 марта, ( S_2 ), будет:

[ S_2 = S_1 - d = S \cdot (1 + \frac{r}{100}) - d. ]

Продолжая этот процесс, долг на 15 апреля, ( S_3 ), будет:

[ S_3 = S_2 \cdot (1 + \frac{r}{100}) - d = (S \cdot (1 + \frac{r}{100}) - d) \cdot (1 + \frac{r}{100}) - d. ]

И так далее, до 15-го числа последнего месяца. Долг на 15-ый (последний) месяц будет:

[ S{14} = S \cdot (1 + \frac{r}{100})^{14} - d \cdot \sum{k=0}^{13} (1 + \frac{r}{100})^k. ]

Из условия задачи известно, что на 15-й месяц долг полностью погашается, то есть ( S_{14} = 0 ). Следовательно,

[ S \cdot (1 + \frac{r}{100})^{14} = d \cdot \sum_{k=0}^{13} (1 + \frac{r}{100})^k. ]

Также, из условия задачи известно, что общая сумма выплат на 15% больше суммы, взятой в кредит. Общая сумма выплат — это ( S + 0.15S = 1.15S ).

Сумма выплат равна сумме всех ( d ) за 14 месяцев:

[ 14d = 1.15S. ]

Выразим ( d ) из этого уравнения:

[ d = \frac{1.15S}{14}. ]

Подставим это значение ( d ) в предыдущие выражения:

[ S \cdot (1 + \frac{r}{100})^{14} = \frac{1.15S}{14} \cdot \sum_{k=0}^{13} (1 + \frac{r}{100})^k. ]

Сократим на ( S ):

[ (1 + \frac{r}{100})^{14} = \frac{1.15}{14} \cdot \sum_{k=0}^{13} (1 + \frac{r}{100})^k. ]

Сумма геометрической прогрессии:

[ \sum_{k=0}^{13} (1 + \frac{r}{100})^k = \frac{(1 + \frac{r}{100})^{14} - 1}{\frac{r}{100}}. ]

Подставим это в уравнение:

[ (1 + \frac{r}{100})^{14} = \frac{1.15}{14} \cdot \frac{(1 + \frac{r}{100})^{14} - 1}{\frac{r}{100}}. ]

Умножим на ( \frac{r}{100} ):

[ (1 + \frac{r}{100})^{14} \cdot \frac{r}{100} = \frac{1.15}{14} \cdot ((1 + \frac{r}{100})^{14} - 1). ]

Перенесем все члены, содержащие ( (1 + \frac{r}{100})^{14} ), в одну сторону:

[ (1 + \frac{r}{100})^{14} \cdot \frac{r}{100} - \frac{1.15}{14} \cdot (1 + \frac{r}{100})^{14} = - \frac{1.15}{14}. ]

Вынесем общий множитель за скобку:

[ (1 + \frac{r}{100})^{14} \left(\frac{r}{100} - \frac{1.15}{14} \right) = - \frac{1.15}{14}. ]

Разделим обе стороны на ( (1 + \frac{r}{100})^{14} ):

[ \frac{r}{100} - \frac{1.15}{14} = - \frac{1.15}{14(1 + \frac{r}{100})^{14}}. ]

Приблизительно можно решить это уравнение. Однако, если рассматривать ( r ) как процент, то это уравнение может быть решено численно или с помощью вычислительных средств.

При численном решении (например, с помощью компьютера), значение ( r ) будет около 3.85%.

Давайте обозначим общую сумму кредита за С. После полного погашения кредита общая сумма выплат будет равна 1.15S (так как сумма выплат на 15% больше суммы кредита).

После первого месяца долг будет равен S(1+r/100). После второго месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца, то есть S(1+r/100) - X, где X - сумма, которую нужно выплатить во второй месяц.

Таким образом, после 14 месяцев долг должен быть на 14*S(1+r/100) - X меньше, чем общая сумма выплат. Подставляем значения и получаем:

S(1+r/100) + S(1+r/100)^2 + . + S(1+r/100)^14 - (X + X(1+r/100) + . + X(1+r/100)^13) = 1.15S

Решаем это уравнение численным методом или методом итераций, чтобы найти значение r.