1.cos(3П/8)sin(5П/24) - cos(5П/24)sin(3П/8) 2.tg13+tg32/1-tg13tg32 3.cos(13П/12) - cos (5П/12)

1. ( \cos\left(\frac{3\pi}{8}\right)\sin\left(\frac{5\pi}{24}\right) - \cos\left(\frac{5\pi}{24}\right)\sin\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{24} - \frac{3\pi}{8}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{24} - \frac{9\pi}{24}\right) = \sin\left(-\frac{4\pi}{24}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}).

2. ( \frac{\tan(13) + \tan(32)}{1 - \tan(13)\tan(32)} = \tan(13 + 32) = \tan(45) = 1 ).

3. ( \cos\left(\frac{13\pi}{12}\right) - \cos\left(\frac{5\pi}{12}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) ).

1. ( \cos\left(\frac{3\pi}{8}\right)\sin\left(\frac{5\pi}{24}\right) - \cos\left(\frac{5\pi}{24}\right)\sin\left(\frac{3\pi}{8}\right) )

Это выражение можно упростить, используя формулу синуса разности:

[ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B ]

В нашем случае, ( A = \frac{5\pi}{24} ) и ( B = \frac{3\pi}{8} ). Подставляем:

[ \sin\left(\frac{5\pi}{24} - \frac{3\pi}{8}\right) ]

Теперь нам нужно привести дроби к общему знаменателю, чтобы вычесть углы:

[ \frac{3\pi}{8} = \frac{9\pi}{24} ]

Таким образом, у нас получается:

[ \frac{5\pi}{24} - \frac{9\pi}{24} = -\frac{4\pi}{24} = -\frac{\pi}{6} ]

Следовательно:

[ \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} ]

Итак, результат:

[ \cos\left(\frac{3\pi}{8}\right)\sin\left(\frac{5\pi}{24}\right) - \cos\left(\frac{5\pi}{24}\right)\sin\left(\frac{3\pi}{8}\right) = -\frac{1}{2} ]

2. ( \frac{\tan 13^\circ + \tan 32^\circ}{1 - \tan 13^\circ \tan 32^\circ} )

Эта форма соответствует формуле тангенса суммы:

[ \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} ]

Здесь ( A = 13^\circ ) и ( B = 32^\circ ), соответственно:

[ \tan(13^\circ + 32^\circ) = \tan(45^\circ) = 1 ]

Следовательно:

[ \frac{\tan 13^\circ + \tan 32^\circ}{1 - \tan 13^\circ \tan 32^\circ} = 1 ]

3. ( \cos\left(\frac{13\pi}{12}\right) - \cos\left(\frac{5\pi}{12}\right) )

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой разности косинусов:

[ \cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A - B}{2}\right) ]

Здесь ( A = \frac{13\pi}{12} ) и ( B = \frac{5\pi}{12} ).

1. Находим ( A + B ) и ( A - B ):

[ A + B = \frac{13\pi}{12} + \frac{5\pi}{12} = \frac{18\pi}{12} = \frac{3\pi}{2} ]

[ A - B = \frac{13\pi}{12} - \frac{5\pi}{12} = \frac{8\pi}{12} = \frac{2\pi}{3} ]

1. Теперь подставим в формулу:

[ \cos\left(\frac{13\pi}{12}\right) - \cos\left(\frac{5\pi}{12}\right) = -2 \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) ]

Значения синусов:

[ \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} ]

Теперь подставляем:

[ -2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{6}}{2} ]

Таким образом, итоговый результат:

[ \cos\left(\frac{13\pi}{12}\right) - \cos\left(\frac{5\pi}{12}\right) = -\frac{\sqrt{6}}{2} ]

Давайте разберем каждый из пунктов последовательно.

1. Выражение:

[ \cos\left(\frac{3\pi}{8}\right)\sin\left(\frac{5\pi}{24}\right) - \cos\left(\frac{5\pi}{24}\right)\sin\left(\frac{3\pi}{8}\right) ]

Используем тригонометрическую формулу для разности синусов: [ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B. ]

В данном выражении можно увидеть, что оно соответствует формуле для (\sin(A - B)), где (A = \frac{3\pi}{8}) и (B = \frac{5\pi}{24}). Поэтому: [ \cos\left(\frac{3\pi}{8}\right)\sin\left(\frac{5\pi}{24}\right) - \cos\left(\frac{5\pi}{24}\right)\sin\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{8} - \frac{5\pi}{24}\right). ]

Теперь найдем разность углов: [ \frac{3\pi}{8} - \frac{5\pi}{24}. ]

Приведем к общему знаменателю (наименьший общий знаменатель — 24): [ \frac{3\pi}{8} = \frac{9\pi}{24}, \quad \frac{5\pi}{24} = \frac{5\pi}{24}. ]

Тогда: [ \frac{3\pi}{8} - \frac{5\pi}{24} = \frac{9\pi}{24} - \frac{5\pi}{24} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6}. ]

Таким образом: [ \sin\left(\frac{3\pi}{8} - \frac{5\pi}{24}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right). ]

Значение (\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)) равно ( \frac{1}{2} ).

Ответ: (\frac{1}{2}).

2. Выражение:

[ \frac{\tan(13^\circ) + \tan(32^\circ)}{1 - \tan(13^\circ)\tan(32^\circ)}. ]

Используем формулу для тангенса суммы углов: [ \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}. ]

В данном случае: [ A = 13^\circ, \quad B = 32^\circ. ]

Получаем: [ \frac{\tan(13^\circ) + \tan(32^\circ)}{1 - \tan(13^\circ)\tan(32^\circ)} = \tan(13^\circ + 32^\circ). ]

Складываем углы: [ 13^\circ + 32^\circ = 45^\circ. ]

Значение (\tan(45^\circ)) равно (1).

Ответ: (1).

3. Выражение:

[ \cos\left(\frac{13\pi}{12}\right) - \cos\left(\frac{5\pi}{12}\right). ]

Используем формулу разности косинусов: [ \cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right). ]

В данном случае: [ A = \frac{13\pi}{12}, \quad B = \frac{5\pi}{12}. ]

1. Сначала найдем (\frac{A + B}{2}): [ \frac{A + B}{2} = \frac{\frac{13\pi}{12} + \frac{5\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{18\pi}{12}}{2} = \frac{9\pi}{12} = \frac{3\pi}{4}. ]

2. Теперь найдем (\frac{A - B}{2}): [ \frac{A - B}{2} = \frac{\frac{13\pi}{12} - \frac{5\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{8\pi}{12}}{2} = \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3}. ]

Подставляем в формулу: [ \cos\left(\frac{13\pi}{12}\right) - \cos\left(\frac{5\pi}{12}\right) = -2 \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right). ]

Теперь найдём значения:

• (\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(180^\circ - 135^\circ\right) = \sin\left(45^\circ\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}),
• (\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}).

Подставляем: [ \cos\left(\frac{13\pi}{12}\right) - \cos\left(\frac{5\pi}{12}\right) = -2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}. ]

Упрощаем: [ -2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{6}}{2}. ]

Ответ: (-\frac{\sqrt{6}}{2}).

Итоговые ответы:

1. (\frac{1}{2}),
2. (1),
3. (-\frac{\sqrt{6}}{2}).