1+ctg^2 a= помогите пожалуйста

Ответ: 1 + cot^2(a) = csc^2(a)

В алгебре и тригонометрии часто встречается выражение ( 1 + \cot^2 a ), и его можно упростить с помощью основных тригонометрических тождеств. Давайте рассмотрим, как это делается.

Используем тождество, которое связывает котангенс угла с секансом этого угла: [ \cot^2 a + 1 = \csc^2 a ] Это тождество можно вывести из более фундаментального тождества для синуса и косинуса. Напомню, что котангенс ( \cot a ) определяется как отношение косинуса угла к синусу угла: [ \cot a = \frac{\cos a}{\sin a} ]

Тогда ( \cot^2 a ) будет равно: [ \cot^2 a = \left(\frac{\cos a}{\sin a}\right)^2 = \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} ]

Используя основное тригонометрическое тождество ( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 ), мы можем выразить ( \cos^2 a ) через ( \sin^2 a ): [ \cos^2 a = 1 - \sin^2 a ]

Теперь подставим это в выражение для ( \cot^2 a ): [ \cot^2 a = \frac{1 - \sin^2 a}{\sin^2 a} ]

Добавим 1 к ( \cot^2 a ): [ \cot^2 a + 1 = \frac{1 - \sin^2 a}{\sin^2 a} + 1 = \frac{1 - \sin^2 a + \sin^2 a}{\sin^2 a} = \frac{1}{\sin^2 a} ]

Таким образом, мы видим, что ( \cot^2 a + 1 ) равно ( \csc^2 a ), где ( \csc a ) — это косеканс угла ( a ), обратная функция к синусу: [ \csc a = \frac{1}{\sin a} ]

Таким образом, выражение ( 1 + \cot^2 a ) упрощается до ( \csc^2 a ). Это и есть ответ на ваш вопрос.

Для решения данного выражения можно воспользоваться основными тригонометрическими тождествами.

Сначала выразим котангенс через синус и косинус: ctg(a) = cos(a)/sin(a). Тогда ctg^2(a) = (cos(a)/sin(a))^2 = cos^2(a)/sin^2(a).

Далее воспользуемся тригонометрическим тождеством sin^2(a) + cos^2(a) = 1, чтобы выразить sin^2(a) через cos^2(a): sin^2(a) = 1 - cos^2(a).

Подставим это в выражение для ctg^2(a): ctg^2(a) = cos^2(a)/(1 - cos^2(a)).

Теперь подставим полученное выражение для ctg^2(a) в исходное уравнение 1 + ctg^2(a) = 1 + cos^2(a)/(1 - cos^2(a)) и упростим:

1 + cos^2(a)/(1 - cos^2(a)) = (1 - cos^2(a) + cos^2(a))/(1 - cos^2(a)) = 1/(1 - cos^2(a)).

Таким образом, ответ на вопрос 1 + ctg^2(a) равен 1/(1 - cos^2(a)).