1)докажите, что функция F является первообразной для функции f на R: F$x$=-cosx\2-x^3+4 f$x$=1\2sinx\2-3x^2...

1) Доказательство, что функция $F$ является первообразной для функции $f$ на $\mathbb{R}$:

Функция $F$ задана как: $F(x)=-\frac{\cos x}{2}-x^3+4$

Функция $f$ задана как: $f(x)=\frac{1}{2}\sin x-3x^2$

Чтобы доказать, что $F$ является первообразной для $f$, нужно показать, что производная $F$ равна $f$: $F^{\prime }(x)=f(x)$

Вычислим производную $F$: $F(x)=-\frac{\cos x}{2}-x^3+4$ $F^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}(-\frac{\cos x}{2}-x^3+4)$

Производная от $-\frac{\cos x}{2}$ равна $\frac{\sin x}{2}$ $поправилупроизводнойкосинусаиумножениянаконстанту$.

Производная от $-x^3$ равна $-3x^2$.

Производная от константы $4$ равна $0$.

Сложив все это, получаем: $F^{\prime }(x)=\frac{\sin x}{2}-3x^2$

Сравниваем с $f(x$ ): $f(x)=\frac{1}{2}\sin x-3x^2$

Таким образом, $F^{\prime }(x$ = f$x$ ), следовательно, $F$ является первообразной для $f$ на $\mathbb{R}$.

2) Найдите общий вид первообразных для функции:

а) $f(x$ = 4x^3 + \cos x )

Для нахождения первообразной $F(x$ ), нам нужно проинтегрировать $f(x$ ):

$F(x)=\int (4x^3+\cos x)dx$

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

$\int 4x^{3}dx=x^4+C_1$ $где(C_1$ - константа интегрирования)

$\int \cos xdx=\sin x+C_2$ $где(C_2$ - константа интегрирования)

Суммируем полученные интегралы: $F(x)=x^4+\sin x+C$

где $C$ - общая константа интегрирования.

б) $f(x$ = 4x^5 - 3 )

Интегрируем $f(x$ ):

$F(x)=\int (4x^5-3)dx$

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

$\int 4x^{5}dx=\frac{4x^6}{6}+C_1=\frac{2x^6}{3}+C_1$

$\int -3dx=-3x+C_2$

Суммируем полученные интегралы: $F(x)=\frac{2x^6}{3}-3x+C$

где $C$ - общая константа интегрирования.

3) Для функции $f$ найдите первообразную $F$, принимающую заданное значение в указанной точке:

а) $f(x$ = $x+4$^2 ), $F(-4$ = 3 )

Интегрируем $f(x$ ):

$F(x)=\int (x+4{)}^{2}dx$

Раскроем квадрат: $(x+4{)}^2=x^2+8x+16$

Теперь интегрируем каждое слагаемое:

$\int (x^2+8x+16)dx=\int x^{2}dx+\int 8xdx+\int 16dx$

$\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}+C_1$

$\int 8xdx=4x^2+C_2$

$\int 16dx=16x+C_3$

Суммируем: $F(x)=\frac{x^3}{3}+4x^2+16x+C$

Теперь используем условие $F(-4$ = 3 ):

$3=\frac{(-4{)}^3}{3}+4(-4{)}^2+16(-4)+C$

$3=-\frac{64}{3}+64-64+C$

$3=-\frac{64}{3}+C$

$C=3+\frac{64}{3}=\frac{9}{3}+\frac{64}{3}=\frac{73}{3}$

Таким образом, первообразная: $F(x)=\frac{x^3}{3}+4x^2+16x+\frac{73}{3}$

б) $f(x$ = \frac{1}{\sqrt{x}} ), $F(4$ = 4 )

Интегрируем $f(x$ ):

$F(x)=\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx$

$\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}}$

Интегрируем: $\int x^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C=2\sqrt{x}+C$

Теперь используем условие $F(4$ = 4 ):

$4=2\sqrt{4}+C$

$4=2\cdot 2+C$

$4=4+C$

$C=0$

Таким образом, первообразная: $F(x)=2\sqrt{x}$

1) Для доказательства того, что функция F является первообразной для функции f на R, необходимо проверить, что производная функции F равна функции f. Для функции F$x$=-cos$x$/2 - x^3 + 4 и f$x$=1/2sin$x/2$ - 3x^2: F'$x$ = -1/2sin$x/2$ - 3x^2 f$x$ = 1/2sin$x/2$ - 3x^2

Таким образом, F'$x$ = f$x$, что означает, что функция F является первообразной для функции f на R.

2) а) Общий вид первообразных для функции f$x$=4x^3+cos$x$ будет иметь вид F$x$ = x^4 + sin$x$ + C, где C - произвольная постоянная. б) Общий вид первообразных для функции f$x$=4/x^5-3 будет иметь вид F$x$ = -1/$4x^4$ - 3x + C, где C - произвольная постоянная.

3) а) Для функции f$x$=$x+4$^2 и F$-4$=3 найдем первообразную F$x$: F$x$ = 1/3$x+4$^3 + C Подставляя x=-4, получаем: 1/3$-4+4$^3 + C = 3 C = 3 Таким образом, первообразная F$x$ = 1/3*$x+4$^3 + 3.

б) Для функции f$x$=1/sqrt$x$ и F$4$=4 найдем первообразную F$x$: F$x$ = 2sqrt$x$ + C Подставляя x=4, получаем: 2sqrt$4$ + C = 4 4 + C = 4 C = 0 Таким образом, первообразная F$x$ = 2*sqrt$x$.