1)докажите, что функция F является первообразной для функции f на R: F(x)=-cosx\2-x^3+4 f(x)=1\2sinx\2-3x^2 2)Найдите общий вид первообразных для функции: а)f(x)=4x^3+cosx б)f(x)=4\x^5-3 3)для функции f найдите первообразную F, принимающую заданное значение в указанной точке: а)f(x)=(x+4)^2, F(-4)=3 б)f(x)=1\квадратный корень Х ,F(4)=4
1) Доказательство, что функция ( F ) является первообразной для функции ( f ) на ( \mathbb{R} ):
Функция ( F ) задана как: [ F(x) = -\frac{\cos x}{2} - x^3 + 4 ]
Функция ( f ) задана как: [ f(x) = \frac{1}{2} \sin x - 3x^2 ]
Чтобы доказать, что ( F ) является первообразной для ( f ), нужно показать, что производная ( F ) равна ( f ): [ F'(x) = f(x) ]
Вычислим производную ( F ): [ F(x) = -\frac{\cos x}{2} - x^3 + 4 ] [ F'(x) = \frac{d}{dx}\left(-\frac{\cos x}{2} - x^3 + 4\right) ]
Производная от ( -\frac{\cos x}{2} ) равна ( \frac{\sin x}{2} ) (по правилу производной косинуса и умножения на константу).
Производная от ( -x^3 ) равна ( -3x^2 ).
Производная от константы ( 4 ) равна ( 0 ).
Сложив все это, получаем: [ F'(x) = \frac{\sin x}{2} - 3x^2 ]
Сравниваем с ( f(x) ): [ f(x) = \frac{1}{2} \sin x - 3x^2 ]
Таким образом, ( F'(x) = f(x) ), следовательно, ( F ) является первообразной для ( f ) на ( \mathbb{R} ).
2) Найдите общий вид первообразных для функции:
а) ( f(x) = 4x^3 + \cos x )
Для нахождения первообразной ( F(x) ), нам нужно проинтегрировать ( f(x) ):
[ F(x) = \int (4x^3 + \cos x) \, dx ]
Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:
[ \int 4x^3 \, dx = x^4 + C_1 ] (где ( C_1 ) - константа интегрирования)
[ \int \cos x \, dx = \sin x + C_2 ] (где ( C_2 ) - константа интегрирования)
Суммируем полученные интегралы: [ F(x) = x^4 + \sin x + C ]
где ( C ) - общая константа интегрирования.
б) ( f(x) = 4x^5 - 3 )
Интегрируем ( f(x) ):
[ F(x) = \int (4x^5 - 3) \, dx ]
Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:
[ \int 4x^5 \, dx = \frac{4x^6}{6} + C_1 = \frac{2x^6}{3} + C_1 ]
[ \int -3 \, dx = -3x + C_2 ]
Суммируем полученные интегралы: [ F(x) = \frac{2x^6}{3} - 3x + C ]
где ( C ) - общая константа интегрирования.
3) Для функции ( f ) найдите первообразную ( F ), принимающую заданное значение в указанной точке:
а) ( f(x) = (x + 4)^2 ), ( F(-4) = 3 )
Интегрируем ( f(x) ):
[ F(x) = \int (x + 4)^2 \, dx ]
Раскроем квадрат: [ (x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16 ]
Теперь интегрируем каждое слагаемое:
[ \int (x^2 + 8x + 16) \, dx = \int x^2 \, dx + \int 8x \, dx + \int 16 \, dx ]
[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C_1 ]
[ \int 8x \, dx = 4x^2 + C_2 ]
[ \int 16 \, dx = 16x + C_3 ]
Суммируем: [ F(x) = \frac{x^3}{3} + 4x^2 + 16x + C ]
Теперь используем условие ( F(-4) = 3 ):
[ 3 = \frac{(-4)^3}{3} + 4(-4)^2 + 16(-4) + C ]
[ 3 = -\frac{64}{3} + 64 - 64 + C ]
[ 3 = -\frac{64}{3} + C ]
[ C = 3 + \frac{64}{3} = \frac{9}{3} + \frac{64}{3} = \frac{73}{3} ]
Таким образом, первообразная: [ F(x) = \frac{x^3}{3} + 4x^2 + 16x + \frac{73}{3} ]
б) ( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} ), ( F(4) = 4 )
Интегрируем ( f(x) ):
[ F(x) = \int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx ]
[ \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}} ]
Интегрируем: [ \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{x} + C ]
Теперь используем условие ( F(4) = 4 ):
[ 4 = 2\sqrt{4} + C ]
[ 4 = 2 \cdot 2 + C ]
[ 4 = 4 + C ]
[ C = 0 ]
Таким образом, первообразная: [ F(x) = 2\sqrt{x} ]
1) Для доказательства того, что функция F является первообразной для функции f на R, необходимо проверить, что производная функции F равна функции f. Для функции F(x)=-cos(x)/2 - x^3 + 4 и f(x)=1/2sin(x/2) - 3x^2: F'(x) = -1/2sin(x/2) - 3x^2 f(x) = 1/2sin(x/2) - 3x^2
Таким образом, F'(x) = f(x), что означает, что функция F является первообразной для функции f на R.
2) а) Общий вид первообразных для функции f(x)=4x^3+cos(x) будет иметь вид F(x) = x^4 + sin(x) + C, где C - произвольная постоянная. б) Общий вид первообразных для функции f(x)=4/x^5-3 будет иметь вид F(x) = -1/(4x^4) - 3x + C, где C - произвольная постоянная.
3) а) Для функции f(x)=(x+4)^2 и F(-4)=3 найдем первообразную F(x): F(x) = 1/3(x+4)^3 + C Подставляя x=-4, получаем: 1/3(-4+4)^3 + C = 3 C = 3 Таким образом, первообразная F(x) = 1/3*(x+4)^3 + 3.
б) Для функции f(x)=1/sqrt(x) и F(4)=4 найдем первообразную F(x): F(x) = 2sqrt(x) + C Подставляя x=4, получаем: 2sqrt(4) + C = 4 4 + C = 4 C = 0 Таким образом, первообразная F(x) = 2*sqrt(x).
