1) Доказательство, что функция является первообразной для функции на :
Функция задана как:
Функция задана как:
Чтобы доказать, что является первообразной для , нужно показать, что производная равна :
Вычислим производную :
Производная от равна .
Производная от равна .
Производная от константы равна .
Сложив все это, получаем:
Сравниваем с ):
Таким образом, = f ), следовательно, является первообразной для на .
2) Найдите общий вид первообразных для функции:
а) = 4x^3 + \cos x )
Для нахождения первообразной ), нам нужно проинтегрировать ):
Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:
- константа интегрирования)
- константа интегрирования)
Суммируем полученные интегралы:
где - общая константа интегрирования.
б) = 4x^5 - 3 )
Интегрируем ):
Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:
Суммируем полученные интегралы:
где - общая константа интегрирования.
3) Для функции найдите первообразную , принимающую заданное значение в указанной точке:
а) = ^2 ), = 3 )
Интегрируем ):
Раскроем квадрат:
Теперь интегрируем каждое слагаемое:
Суммируем:
Теперь используем условие = 3 ):
Таким образом, первообразная:
б) = \frac{1}{\sqrt{x}} ), = 4 )
Интегрируем ):
Интегрируем:
Теперь используем условие = 4 ):
Таким образом, первообразная: