1)докажите, что функция F является первообразной для функции f на R: Fx=-cosx\2-x^3+4 fx=1\2sinx\2-3x^2...

Тематика Алгебра
Уровень 10 - 11 классы
математика первообразные интегралы функции доказательства общий вид первообразных заданные значения точки примеры задания
0

1)докажите, что функция F является первообразной для функции f на R: Fx=-cosx\2-x^3+4 fx=1\2sinx\2-3x^2 2)Найдите общий вид первообразных для функции: а)fx=4x^3+cosx б)fx=4\x^5-3 3)для функции f найдите первообразную F, принимающую заданное значение в указанной точке: а)fx=x+4^2, F4=3 б)fx=1\квадратный корень Х ,F4=4

avatar
задан 6 месяцев назад

2 Ответа

0

1) Доказательство, что функция F является первообразной для функции f на R:

Функция F задана как: F(x)=cosx2x3+4

Функция f задана как: f(x)=12sinx3x2

Чтобы доказать, что F является первообразной для f, нужно показать, что производная F равна f: F(x)=f(x)

Вычислим производную F: F(x)=cosx2x3+4 F(x)=ddx(cosx2x3+4)

Производная от cosx2 равна sinx2 поправилупроизводнойкосинусаиумножениянаконстанту.

Производная от x3 равна 3x2.

Производная от константы 4 равна 0.

Сложив все это, получаем: F(x)=sinx23x2

Сравниваем с f(x ): f(x)=12sinx3x2

Таким образом, F(x = fx ), следовательно, F является первообразной для f на R.

2) Найдите общий вид первообразных для функции:

а) f(x = 4x^3 + \cos x )

Для нахождения первообразной F(x ), нам нужно проинтегрировать f(x ):

F(x)=(4x3+cosx)dx

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

4x3dx=x4+C1 где(C1 - константа интегрирования)

cosxdx=sinx+C2 где(C2 - константа интегрирования)

Суммируем полученные интегралы: F(x)=x4+sinx+C

где C - общая константа интегрирования.

б) f(x = 4x^5 - 3 )

Интегрируем f(x ):

F(x)=(4x53)dx

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

4x5dx=4x66+C1=2x63+C1

3dx=3x+C2

Суммируем полученные интегралы: F(x)=2x633x+C

где C - общая константа интегрирования.

3) Для функции f найдите первообразную F, принимающую заданное значение в указанной точке:

а) f(x = x+4^2 ), F(4 = 3 )

Интегрируем f(x ):

F(x)=(x+4)2dx

Раскроем квадрат: (x+4)2=x2+8x+16

Теперь интегрируем каждое слагаемое:

(x2+8x+16)dx=x2dx+8xdx+16dx

x2dx=x33+C1

8xdx=4x2+C2

16dx=16x+C3

Суммируем: F(x)=x33+4x2+16x+C

Теперь используем условие F(4 = 3 ):

3=(4)33+4(4)2+16(4)+C

3=643+6464+C

3=643+C

C=3+643=93+643=733

Таким образом, первообразная: F(x)=x33+4x2+16x+733

б) f(x = \frac{1}{\sqrt{x}} ), F(4 = 4 )

Интегрируем f(x ):

F(x)=1xdx

1x=x12

Интегрируем: x12dx=x1212+C=2x+C

Теперь используем условие F(4 = 4 ):

4=24+C

4=22+C

4=4+C

C=0

Таким образом, первообразная: F(x)=2x

avatar
ответил 6 месяцев назад
0

1) Для доказательства того, что функция F является первообразной для функции f на R, необходимо проверить, что производная функции F равна функции f. Для функции Fx=-cosx/2 - x^3 + 4 и fx=1/2sinx/2 - 3x^2: F'x = -1/2sinx/2 - 3x^2 fx = 1/2sinx/2 - 3x^2

Таким образом, F'x = fx, что означает, что функция F является первообразной для функции f на R.

2) а) Общий вид первообразных для функции fx=4x^3+cosx будет иметь вид Fx = x^4 + sinx + C, где C - произвольная постоянная. б) Общий вид первообразных для функции fx=4/x^5-3 будет иметь вид Fx = -1/4x4 - 3x + C, где C - произвольная постоянная.

3) а) Для функции fx=x+4^2 и F4=3 найдем первообразную Fx: Fx = 1/3x+4^3 + C Подставляя x=-4, получаем: 1/34+4^3 + C = 3 C = 3 Таким образом, первообразная Fx = 1/3*x+4^3 + 3.

б) Для функции fx=1/sqrtx и F4=4 найдем первообразную Fx: Fx = 2sqrtx + C Подставляя x=4, получаем: 2sqrt4 + C = 4 4 + C = 4 C = 0 Таким образом, первообразная Fx = 2*sqrtx.

avatar
ответил 6 месяцев назад

Ваш ответ

Вопросы по теме

Найти первообразную функции fx=3x^3-4x^2
10 месяцев назад танечка505