1.Круговой сектор с углом 200 градусов и радиусом 18см свернут в коническую поверхность. Чему равен радиус и высота конуса.
Конечно, давайте разберем оба вопроса подробно.
У нас есть круговой сектор с углом 200 градусов и радиусом 18 см, который сворачивается в конус. Нужно найти радиус основания и высоту конуса.
Длина дуги сектора: Длина дуги ( L ) сектора вычисляется по формуле: [ L = 2\pi R \times \frac{\theta}{360^\circ} ] где ( R = 18 ) см - радиус сектора, ( \theta = 200^\circ ) - угол сектора. [ L = 2\pi \times 18 \times \frac{200}{360} = 20\pi \text{ см} ]
Радиус основания конуса: Длина дуги сектора становится длиной окружности основания конуса: [ 2\pi r = 20\pi ] где ( r ) - радиус основания конуса. Отсюда: [ r = 10 \text{ см} ]
Высота конуса: Используем теорему Пифагора для нахождения высоты ( h ) конуса. Гипотенуза треугольника - это радиус исходного сектора ( R = 18 ) см, а один из катетов - это радиус основания конуса ( r = 10 ) см: [ R^2 = r^2 + h^2 ] [ 18^2 = 10^2 + h^2 ] [ 324 = 100 + h^2 ] [ h^2 = 224 ] [ h = \sqrt{224} \approx 14.97 \text{ см} ]
У нас есть конус с высотой 4 см и радиусом основания 3 см. Требуется найти угол сектора, в который развернется боковая поверхность.
Длина окружности основания: [ C = 2\pi r = 2\pi \times 3 = 6\pi \text{ см} ]
Длина образующей (гипотенуза): Используем теорему Пифагора для нахождения длины образующей ( l ): [ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \text{ см} ]
Угол сектора: Развертка боковой поверхности конуса - это сектор круга с радиусом ( l = 5 ) см и длиной дуги ( C = 6\pi ). Угол этого сектора ( \theta ) определяется соотношением длины дуги к окружности полного круга: [ \frac{\theta}{360^\circ} = \frac{C}{2\pi l} ] [ \frac{\theta}{360^\circ} = \frac{6\pi}{2\pi \times 5} ] [ \theta = 360^\circ \times \frac{6}{10} = 216^\circ ]
Таким образом, угол полученного сектора равен ( 216^\circ ).
Надеюсь, это объяснение было полезным. Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется более подробное объяснение, пожалуйста, дайте знать!
Объем конуса вычисляется по формуле: V = (1/3) π r^2 * h,
где V - объем конуса, r - радиус основания конуса, h - высота конуса.
Площадь кругового сектора вычисляется по формуле: S = (θ/360) π r^2,
где S - площадь кругового сектора, θ - угол сектора в градусах, r - радиус сектора.
Дано: θ = 200 градусов, r = 18 см.
По условию задачи круговой сектор свернут в коническую поверхность, значит площадь кругового сектора равна площади основания конуса: (200/360) π 18^2 = π r^2, 200/360 18^2 = r^2, 10 9 9 = r^2, r = 9√10 см.
Теперь мы можем найти высоту конуса, подставив найденное значение радиуса в формулу объема конуса: V = (1/3) π (9√10)^2 h, V = (1/3) π 90 h, V = 30πh.
Так как площадь кругового сектора равна площади основания конуса, то площадь кругового сектора равна π * 18^2 = 324π см^2.
Исходя из этого, можем записать: 324π = 30πh, h = 324/30, h = 10.8 см.
Итак, радиус конуса равен 9√10 см, а высота конуса равна 10.8 см.
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: Sб = π r l,
где Sб - площадь боковой поверхности конуса, r - радиус основания конуса, l - образующая конуса.
Образующая конуса вычисляется по теореме Пифагора: l = √(r^2 + h^2),
где h - высота конуса.
Дано: r = 3 см, h = 4 см.
Подставим данные в формулу для образующей и найдем ее значение: l = √(3^2 + 4^2), l = √(9 + 16), l = √25, l = 5 см.
Теперь найдем площадь боковой поверхности конуса: Sб = π 3 5, Sб = 15π см^2.
Так как боковая поверхность конуса развернута на плоскость, то площадь боковой поверхности конуса равна площади кругового сектора. Поэтому можем записать: 15π = (θ/360) π 3^2, 15 = (θ/360) * 9, θ/360 = 15/9, θ = 600/9, θ = 66.67 градусов.
Итак, угол полученного кругового сектора равен примерно 66.67 градусов.
