1)Определите число корней уравнения: а)9х2+12х+4=0. б)2х2+3х-11=0. 2)Решите уравнения: а)х2-14х+33=0....

1)а) Дискриминант D=12^2-494=144-144=0. Уравнение имеет один корень. б) D=3^2-42(-11)=9+88=97. Уравнение имеет два корня. 2)а) x1=11, x2=3. б) x1=1/3, x2=3. в) x1=3, x2=1. г) x1=-2, x2=-11. д) x1=8, x2=27. 3) Стороны прямоугольника 8см и 17см. 4) Уравнение равносильно x^2+6x-10=0. Корни: x1=-3+sqrt(19), x2=-3-sqrt(19). 5) При p=sqrt(4*9)=6.

Конечно, давайте разберем каждый из вопросов последовательно и подробно.

1. Определите число корней уравнения:

Для определения числа корней квадратного уравнения (ax^2 + bx + c = 0) используется дискриминант (D), который вычисляется по формуле: [ D = b^2 - 4ac ]

• Если (D > 0), уравнение имеет два различных вещественных корня.
• Если (D = 0), уравнение имеет один вещественный корень (два совпадающих корня).
• Если (D < 0), уравнение не имеет вещественных корней.

а) (9x^2 + 12x + 4 = 0)

Вычислим дискриминант: [ D = 12^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 144 - 144 = 0 ]

Итак, уравнение имеет один вещественный корень.

б) (2x^2 + 3x - 11 = 0)

Вычислим дискриминант: [ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-11) = 9 + 88 = 97 ]

Так как (D > 0), уравнение имеет два различных вещественных корня.

2. Решите уравнения:

а) (x^2 - 14x + 33 = 0)

Вычислим дискриминант: [ D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 33 = 196 - 132 = 64 ]

Корни уравнения находятся по формуле: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

[ x_{1,2} = \frac{14 \pm 8}{2} ]

[ x_1 = \frac{14 + 8}{2} = 11 ] [ x_2 = \frac{14 - 8}{2} = 3 ]

Итак, корни уравнения: (x = 11) и (x = 3).

б) (-3x^2 + 10x - 3 = 0)

Вычислим дискриминант: [ D = 10^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-3) = 100 - 36 = 64 ]

Корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{-10 \pm 8}{-6} ]

[ x_1 = \frac{-10 + 8}{-6} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3} ] [ x_2 = \frac{-10 - 8}{-6} = \frac{-18}{-6} = 3 ]

Итак, корни уравнения: (x = \frac{1}{3}) и (x = 3).

в) (x^4 - 10x^2 + 9 = 0)

Сделаем замену (y = x^2), тогда уравнение примет вид: [ y^2 - 10y + 9 = 0 ]

Вычислим дискриминант: [ D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64 ]

Корни уравнения: [ y_{1,2} = \frac{10 \pm 8}{2} ]

[ y_1 = \frac{10 + 8}{2} = 9 ] [ y_2 = \frac{10 - 8}{2} = 1 ]

Теперь вернемся к переменной (x): [ x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3 ] [ x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 ]

Итак, корни уравнения: (x = \pm 3) и (x = \pm 1).

г) (x^2 + 10x + 22 = 0)

Вычислим дискриминант: [ D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 22 = 100 - 88 = 12 ]

Так как (D > 0), уравнение имеет два различных вещественных корня.

Корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{-10 \pm 2\sqrt{3}}{2} ]

[ x_1 = -5 + \sqrt{3} ] [ x_2 = -5 - \sqrt{3} ]

Итак, корни уравнения: (x = -5 + \sqrt{3}) и (x = -5 - \sqrt{3}).

д) (x^2 - 110x + 216 = 0)

Вычислим дискриминант: [ D = (-110)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 216 = 12100 - 864 = 11236 ]

Корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{110 \pm \sqrt{11236}}{2} ]

[ x_1 = \frac{110 + 106}{2} = 108 ] [ x_2 = \frac{110 - 106}{2} = 2 ]

Итак, корни уравнения: (x = 108) и (x = 2).

3. Одна сторона прямоугольника на 9 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 112 см².

Обозначим меньшую сторону прямоугольника за (x), тогда большая сторона будет (x + 9). Площадь прямоугольника равна 112 см², следовательно: [ x(x + 9) = 112 ]

Решим это квадратное уравнение: [ x^2 + 9x - 112 = 0 ]

Вычислим дискриминант: [ D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-112) = 81 + 448 = 529 ]

Корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{529}}{2} ]

[ x_1 = \frac{-9 + 23}{2} = 7 ] [ x_2 = \frac{-9 - 23}{2} = -16 ] (не подходит, так как длина не может быть отрицательной)

Итак, меньшая сторона равна 7 см, а большая сторона равна (7 + 9 = 16) см.

4. Решите уравнение: ( \frac{10}{25 - x^2} - \frac{1}{5} + \frac{x}{x - 5} = 0 )

Приведем уравнение к общему знаменателю: [ \frac{10}{(5 - x)(5 + x)} - \frac{1}{5} + \frac{x}{x - 5} = 0 ]

Умножим все на общий знаменатель (5(5 - x)(5 + x)): [ 10 \cdot 5 - 1 \cdot (5 - x)(5 + x) + x \cdot 5(5 + x) = 0 ]

Раскроем скобки и упростим: [ 50 - (25 - x^2) + 5x(5 + x) = 0 ] [ 50 - 25 + x^2 + 25x + 5x^2 = 0 ] [ 6x^2 + 25x + 25 = 0 ]

Решим квадратное уравнение: [ D = 25^2 - 4 \cdot 6 \cdot 25 = 625 - 600 = 25 ]

Корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{-25 \pm \sqrt{25}}{12} ] [ x_1 = \frac{-25 + 5}{12} = -\frac{5}{3} ] [ x_2 = \frac{-25 - 5}{12} = -\frac{5}{2} ]

Итак, корни уравнения: (x = -\frac{5}{3}) и (x = -\frac{5}{2}).

5. При каких значениях параметра (p) уравнение (4x^2 + px + 9 = 0) имеет один корень?

Уравнение имеет один корень, если дискриминант равен нулю: [ D = p^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = p^2 - 144 ]

Для одного корня: [ p^2 - 144 = 0 ] [ p^2 = 144 ] [ p = \pm 12 ]

Итак, уравнение имеет один корень при (p = 12) или (p = -12).

1) а) Уравнение 9x^2 + 12x + 4 = 0 имеет два корня. б) Уравнение 2x^2 + 3x - 11 = 0 имеет два корня.

2) а) x^2 - 14x + 33 = 0 (x - 11)(x - 3) = 0 x1 = 11, x2 = 3

б) -3x^2 + 10x - 3 = 0 (3x - 1)(-x + 3) = 0 x1 = 1/3, x2 = 3

в) x^4 - 10x^2 + 9 = 0 (x^2 - 9)(x^2 - 1) = 0 x1 = 3, x2 = -3, x3 = 1, x4 = -1

г) x^2 + 10x + 22 = 0 Дискриминант D = 10^2 - 4122 = 100 - 88 = 12 x1 = (-10 + √12) / 2 = -5 + √3 x2 = (-10 - √12) / 2 = -5 - √3

д) x^2 - 110x + 216 = 0 (x - 6)(x - 36) = 0 x1 = 6, x2 = 36

3) Пусть одна сторона прямоугольника равна x, тогда другая сторона будет x + 9. Уравнение для площади прямоугольника: x(x + 9) = 112 x^2 + 9x - 112 = 0 (x + 16)(x - 7) = 0 x1 = -16 (не подходит), x2 = 7 Стороны прямоугольника равны 7 см и 16 см.

4) Уравнение 10/25 - x^2 - 1/5 + x - x/x - 5 = 0 упрощается до: 2/5 - x^2 + x - 1 = 0 -x^2 + x - 3/5 = 0

5) Уравнение 4x^2 + px + 9 = 0 имеет один корень, если дискриминант равен нулю: D = p^2 - 449 p^2 - 144 = 0 p = ±12 При значениях параметра p равных ±12 уравнение имеет один корень.