1.Разложите по формуле бинома Ньютона а)(x-1)^6 б)(x-3)^5 2.упростите выражение (x-1)^3+3(x-1)^2+3(x-1)+1

1. а) (x-1)^6 = C(6,0)x^6 + C(6,1)x^5(-1) + C(6,2)x^4(-1)^2 + C(6,3)x^3(-1)^3 + C(6,4)x^2(-1)^4 + C(6,5)x(-1)^5 + C(6,6)(-1)^6 = x^6 - 6x^5 + 15x^4 - 20x^3 + 15x^2 - 6x + 1

б) (x-3)^5 = C(5,0)x^5 + C(5,1)x^4(-3) + C(5,2)x^3(-3)^2 + C(5,3)x^2(-3)^3 + C(5,4)x(-3)^4 + C(5,5)(-3)^5 = x^5 - 15x^4 + 90x^3 - 270x^2 + 405x - 243

1. (x-1)^3 + 3(x-1)^2 + 3(x-1) + 1 = (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) + 3(x^2 - 2x + 1) + 3(x-1) + 1 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 + 3x^2 - 6x + 3 + 3x - 3 + 1 = x^3 + 3

Конечно, давайте разберем каждый из вопросов по теме алгебры.

1. Разложение по формуле бинома Ньютона

Формула бинома Ньютона (или формула разложения бинома) выглядит следующим образом:

[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k ]

где (\binom{n}{k}) — это биномиальный коэффициент, который рассчитывается как (\frac{n!}{k!(n-k)!}).

а) ((x-1)^6)

В данном случае (a = x) и (b = -1), (n = 6).

[ (x-1)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} x^{6-k} (-1)^k ]

Распишем по членам:

[ (x-1)^6 = \binom{6}{0} x^6 (-1)^0 + \binom{6}{1} x^5 (-1)^1 + \binom{6}{2} x^4 (-1)^2 + \binom{6}{3} x^3 (-1)^3 + \binom{6}{4} x^2 (-1)^4 + \binom{6}{5} x^1 (-1)^5 + \binom{6}{6} x^0 (-1)^6 ]

Теперь подставим биномиальные коэффициенты:

[ (x-1)^6 = 1 \cdot x^6 - 6 \cdot x^5 + 15 \cdot x^4 - 20 \cdot x^3 + 15 \cdot x^2 - 6 \cdot x + 1 ]

б) ((x-3)^5)

В данном случае (a = x) и (b = -3), (n = 5).

[ (x-3)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{5-k} (-3)^k ]

Распишем по членам:

[ (x-3)^5 = \binom{5}{0} x^5 (-3)^0 + \binom{5}{1} x^4 (-3)^1 + \binom{5}{2} x^3 (-3)^2 + \binom{5}{3} x^2 (-3)^3 + \binom{5}{4} x^1 (-3)^4 + \binom{5}{5} x^0 (-3)^5 ]

Теперь подставим биномиальные коэффициенты:

[ (x-3)^5 = 1 \cdot x^5 - 5 \cdot x^4 \cdot 3 + 10 \cdot x^3 \cdot 9 - 10 \cdot x^2 \cdot 27 + 5 \cdot x \cdot 81 - 1 \cdot 243 ]

Упростим члены:

[ (x-3)^5 = x^5 - 15x^4 + 90x^3 - 270x^2 + 405x - 243 ]

2. Упрощение выражения ((x-1)^3+3(x-1)^2+3(x-1)+1)

Обозначим (y = (x-1)), чтобы упростить выражение:

[ y^3 + 3y^2 + 3y + 1 ]

Это выражение является разложением бинома по формуле бинома Ньютона для ( (y+1)^3 ):

[ (y+1)^3 = y^3 + 3y^2 + 3y + 1 ]

Поскольку (y = (x-1)), то получаем:

[ (y+1)^3 = ((x-1)+1)^3 = x^3 ]

Таким образом, исходное выражение упрощается до:

[ (x-1)^3 + 3(x-1)^2 + 3(x-1) + 1 = x^3 ]

Итак, мы разобрали оба вопроса и упростили выражения согласно правилам алгебры.