1.Решить неравенство:( с проверкой) а)(1 1/5)^x<5/6 б)(0.4)^(9-x^2 )≤1 2.Решить систему уравнений:...

1. Решение неравенств

а) Решить неравенство: ( (1 \frac{1}{5})^x < \frac{5}{6} )

1. Переведем смешанное число в неправильную дробь: [ 1 \frac{1}{5} = \frac{6}{5} ]

2. Запишем неравенство в новой форме: [ \left(\frac{6}{5}\right)^x < \frac{5}{6} ]

3. Возьмем логарифм обеих частей неравенства: [ x \cdot \log\left(\frac{6}{5}\right) < \log\left(\frac{5}{6}\right) ]

4. Так как (\log\left(\frac{6}{5}\right) > 0), можем разделить обе части неравенства на этот логарифм: [ x < \frac{\log\left(\frac{5}{6}\right)}{\log\left(\frac{6}{5}\right)} ]

5. Вычислим приближенные значения логарифмов: [ \log\left(\frac{5}{6}\right) \approx -0.07918, \quad \log\left(\frac{6}{5}\right) \approx 0.07918 ]

6. Рассчитаем значение x: [ x < \frac{-0.07918}{0.07918} = -1 ]

Ответ: ( x < -1 )

б) Решить неравенство: ( (0.4)^{9-x^2} \leq 1 )

1. Поймем, что любое число в степени 0 равно 1, и так как (0.4 < 1), если степень положительная, значение будет меньше 1.

2. Поэтому, чтобы неравенство выполнялось, необходимо: [ 9 - x^2 \leq 0 ]

3. Решим неравенство: [ 9 \leq x^2 \quad \Rightarrow \quad x^2 \geq 9 ]

4. Извлечем корень: [ x \geq 3 \quad \text{или} \quad x \leq -3 ]

Ответ: ( x \leq -3 ) или ( x \geq 3 )

2. Решение системы уравнений

Система:

[ \begin{cases} x - y = 1 \ 4^{2x-3y} = 1 \end{cases} ]

1. Решим первое уравнение: [ y = x - 1 ]

2. Подставим значение y во второе уравнение: [ 4^{2x - 3(x - 1)} = 1 ]

3. Упростим выражение в показателе: [ 4^{2x - 3x + 3} = 1 \quad \Rightarrow \quad 4^{-x + 3} = 1 ]

4. Поскольку любое число в нулевой степени равно 1: [ -x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3 ]

5. Найдем y: [ y = 3 - 1 = 2 ]

Ответ: ( x = 3, \; y = 2 )

3. Решение уравнения графически: ( 3^x = 2x + 1 )

Для решения уравнения графически, построим графики функций ( f(x) = 3^x ) и ( g(x) = 2x + 1 ) на одной координатной плоскости и найдем точки их пересечения.

1. Построим график экспоненциальной функции ( f(x) = 3^x ):

   • Эта функция возрастает.

2. Построим график линейной функции ( g(x) = 2x + 1 ):

   • Это прямая линия с угловым коэффициентом 2 и пересечением с осью y в точке (0, 1).

3. Найдем точку пересечения:

   • Графически видно, что эти две функции пересекаются в точке ( x \approx 0 ).

4. Подтвердим аналитически:

   • Подставим ( x = 0 ) в уравнение: ( 3^0 = 2 \cdot 0 + 1 )
   • Получаем ( 1 = 1 ), что подтверждает точку пересечения.

Ответ: ( x = 0 )

1. а) (1 1/5)^x < 5/6 Перепишем неравенство с учетом того, что 1 1/5 = 6/5: (6/5)^x < 5/6 Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 10: x*log(6/5) < log(5/6) x < log(5/6) / log(6/5)

Проверка: Подставим найденное значение x обратно в исходное неравенство и проверим его выполнение.

б) (0.4)^(9-x^2) ≤ 1 Так как любое число, возведенное в степень 0, равно 1, то неравенство примет вид: 0.4^(9-x^2) ≤ 1 0.4^(9-x^2) = 1 Таким образом, уравнение имеет бесконечное множество решений.

1. x - y = 1 4^(2x-3y) = 1 4^(2x-3y) = 4^0 2x - 3y = 0 2x = 3y x = 3y/2

Подставим x в первое уравнение: 3y/2 - y = 1 y/2 = 1 y = 2 Теперь найдем x: x = 3*2/2 = 3

Таким образом, решение системы уравнений: x = 3, y = 2.

1. 3^x = 2x + 1 Графически это уравнение можно решить, построив графики функций y = 3^x и y = 2x + 1 и нахождения точки их пересечения.