1)вычислить площадь фигуры ограниченной одной полуволной синусоидой y=sin x и осью абсцисс. 2)Площадь поверхности шара равна 144 см. Нацти его объем? 3)Известно,что sin t=-3/5 лежит p(пи)<t<3p/2. Найти cos t, tg t, ctg t. 4)Вычислить f(0), если f(x)=2в степени x/x в степени 2+1. 5) Площадь полной поверхности куба-54 см. Найти объем куба? Решите пожалуйста нужно на экхамен
Конечно, давайте разберем каждый из вопросов подробно:
1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды ( y = \sin x ) и осью абсцисс.
Полуволна синусоиды ( y = \sin x ) от 0 до ( \pi ) ограничивает фигуру под графиком функции. Для нахождения площади этой фигуры, необходимо вычислить определенный интеграл:
[ A = \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx ]
Интеграл функции ( \sin x ) равен ( -\cos x ), поэтому:
[ A = \left[ -\cos x \right]_{0}^{\pi} = -\cos(\pi) + \cos(0) = -(-1) + 1 = 2 ]
Таким образом, площадь фигуры равна 2.
2) Площадь поверхности шара равна 144 см². Найти его объем.
Формула для площади поверхности шара: ( S = 4\pi r^2 ).
Нам известно, что ( S = 144 ), значит:
[ 4\pi r^2 = 144 ]
[ r^2 = \frac{144}{4\pi} = \frac{36}{\pi} ]
[ r = \sqrt{\frac{36}{\pi}} ]
Теперь найдем объем шара, используя формулу ( V = \frac{4}{3}\pi r^3 ):
[ V = \frac{4}{3}\pi \left(\sqrt{\frac{36}{\pi}}\right)^3 ]
[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{216\sqrt{\pi}}{\pi^{3/2}} ]
[ V = \frac{4}{3} \cdot 216 \cdot \frac{1}{\sqrt{\pi}} ]
[ V = \frac{864}{3\sqrt{\pi}} ]
Таким образом, объем шара равен (\frac{864}{3\sqrt{\pi}}).
3) Известно, что (\sin t = -\frac{3}{5}) и (\pi < t < \frac{3\pi}{2}). Найти (\cos t), (\tan t), (\cot t).
Зная, что (\sin t = -\frac{3}{5}) и (t) лежит во второй четверти, можем использовать основное тригонометрическое тождество:
[ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 ]
[ \left(-\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 t = 1 ]
[ \frac{9}{25} + \cos^2 t = 1 ]
[ \cos^2 t = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} ]
Так как (t) находится в третьей четверти, где косинус отрицательный:
[ \cos t = -\frac{4}{5} ]
Теперь найдем (\tan t) и (\cot t):
[ \tan t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{-\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = \frac{3}{4} ]
[ \cot t = \frac{1}{\tan t} = \frac{4}{3} ]
Таким образом, (\cos t = -\frac{4}{5}), (\tan t = \frac{3}{4}), (\cot t = \frac{4}{3}).
4) Вычислить ( f(0) ), если ( f(x) = \frac{2^x}{x^2 + 1} ).
Подставим ( x = 0 ) в функцию:
[ f(0) = \frac{2^0}{0^2 + 1} = \frac{1}{1} = 1 ]
Таким образом, ( f(0) = 1 ).
5) Площадь полной поверхности куба равна 54 см². Найти объем куба.
Площадь поверхности куба ( S = 6a^2 ), где ( a ) — длина ребра куба.
[ 6a^2 = 54 ]
[ a^2 = \frac{54}{6} = 9 ]
[ a = \sqrt{9} = 3 ]
Объем куба ( V = a^3 ):
[ V = 3^3 = 27 ]
Таким образом, объем куба равен 27 см³.
Надеюсь, это поможет вам на экзамене! Удачи!
1) Площадь фигуры, ограниченной полуволной синусоидой y=sin x и осью абсцисс, можно найти с помощью интеграла. Интегрируем sin x на отрезке [0, π]: ∫sin x dx = -cos x | от 0 до π = -cos π - (-cos 0) = -(-1) - (-1) = 1 - 1 = 0 Таким образом, площадь фигуры равна 0.
2) Площадь поверхности шара равна 144 см². Формула для площади поверхности шара: S = 4πr², где r - радиус шара. Подставляем известное значение площади и находим радиус: 144 = 4πr² r² = 36/π r = √(36/π) Радиус шара равен 6 см. Объем шара можно найти по формуле V = (4/3)πr³: V = (4/3)π(6)³ V ≈ 904.78 см³
3) Для начала найдем угол t, в пределах которого лежит sin t = -3/5. Так как sin t < 0 и cos t < 0, значит t находится во II четверти. Так как sin t = -3/5, то противолежащий катет равен 3, гипотенуза равна 5. Таким образом, cos t = -4/5, tg t = -3/4, ctg t = -4/3.
4) Вычислим f(0): f(x) = 2ˣ / (x² + 1) f(0) = 2⁰ / (0² + 1) f(0) = 1
5) Площадь полной поверхности куба равна 54 см². Формула для площади поверхности куба: S = 6a², где a - длина ребра куба. Подставляем известное значение площади и находим длину ребра: 54 = 6a² a² = 9 a = 3 см. Объем куба можно найти по формуле V = a³: V = 3³ V = 27 см³
Надеюсь, это поможет вам на экзамене! Удачи!
