(2cos^2x+sinx-2) sqrt(5tgx) =0 решите уравнение

Для решения уравнения ((2\cos^2{x} + \sin{x} - 2) \sqrt{5\tan{x}} = 0), необходимо рассмотреть два отдельных случая, исходя из произведения двух множителей, равного нулю.

1. Рассмотрим первый множитель: (2\cos^2{x} + \sin{x} - 2 = 0).

   Преобразуем его, используя тригонометрическую тождество (\cos^2{x} = 1 - \sin^2{x}):

   [ 2(1 - \sin^2{x}) + \sin{x} - 2 = 0 ]

   Раскроем скобки и упростим выражение:

   [ 2 - 2\sin^2{x} + \sin{x} - 2 = 0 ]

   Упростим:

   [ -2\sin^2{x} + \sin{x} = 0 ]

   Вынесем (\sin{x}) за скобку:

   [ \sin{x} (-2\sin{x} + 1) = 0 ]

   Отсюда получаем два уравнения:

   [ \sin{x} = 0 ]

   [ -2\sin{x} + 1 = 0 ]

   Решим первое уравнение:

   [ \sin{x} = 0 \Rightarrow x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

   Решим второе уравнение:

   [ -2\sin{x} + 1 = 0 \Rightarrow \sin{x} = \frac{1}{2} ]

   Известные значения (\sin{x} = \frac{1}{2}) достигаются при:

   [ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

2. Рассмотрим второй множитель: (\sqrt{5\tan{x}} = 0).

   Поскольку выражение под корнем не может быть отрицательным, (\sqrt{5\tan{x}} = 0) имеет решение только при:

   [ 5\tan{x} = 0 \Rightarrow \tan{x} = 0 ]

   Знаем, что (\tan{x} = 0) при:

   [ x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} ]

Теперь объединим все найденные решения:

1. (x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z})
2. (x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z})
3. (x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z})

Таким образом, общее решение уравнения ((2\cos^2{x} + \sin{x} - 2) \sqrt{5\tan{x}} = 0) включает в себя все значения (x), которые удовлетворяют одному из следующих условий:

[ x = k\pi, \quad x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. ]

Для начала рассмотрим уравнение (2cos^2x + sinx - 2)√(5tgx) = 0. Заметим, что данное уравнение представляет собой произведение двух множителей, которые равны 0. Следовательно, мы можем рассмотреть два уравнения:

1) 2cos^2x + sinx - 2 = 0 2) √(5tgx) = 0

Решим первое уравнение: 2cos^2x + sinx - 2 = 0. Заметим, что это уравнение нелинейное и его решение может быть найдено численными методами или с помощью графического анализа.

Решим второе уравнение: √(5tgx) = 0. Заметим, что тангенс не может быть равен нулю, поэтому данное уравнение не имеет решений.

Таким образом, уравнение (2cos^2x + sinx - 2)√(5tgx) = 0 не имеет решений в области действительных чисел.