2cos(п/2+x)=корень из 3tgx

Для решения уравнения (2\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \sqrt{3}\tan{x}), давайте разберемся с каждой частью уравнения.

1. Преобразование косинуса: [ \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin{x} ] Это связано с тем, что косинус угла (\frac{\pi}{2} + x) равен синусу угла (x) с отрицательным знаком, согласно тригонометрическим тождествам.

2. Подстановка в уравнение: Подставим это в уравнение: [ 2(-\sin{x}) = \sqrt{3}\tan{x} ] или [ -2\sin{x} = \sqrt{3}\tan{x} ]

3. Замена тангенса: [ \tan{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}} ] Подставим в уравнение: [ -2\sin{x} = \sqrt{3} \cdot \frac{\sin{x}}{\cos{x}} ]

4. Решение уравнения: Перемножив обе части на (\cos{x}) (при условии, что (\cos{x} \neq 0)), получим: [ -2\sin{x}\cos{x} = \sqrt{3}\sin{x} ] Разделим обе части на (\sin{x}) (при условии, что (\sin{x} \neq 0)): [ -2\cos{x} = \sqrt{3} ] Тогда [ \cos{x} = -\frac{\sqrt{3}}{2} ]

5. Нахождение угла (x): Косинус равен (-\frac{\sqrt{3}}{2}) в следующих точках: [ x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Таким образом, общее решение уравнения: [ x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Для раскрытия данного уравнения, нам необходимо использовать тригонометрические тождества.

Исходное уравнение: 2cos(π/2 + x) = √3tan(x)

Сначала раскроем косинус суммы: cos(π/2 + x) = -sin(x)

Подставляем в уравнение: 2*(-sin(x)) = √3tan(x)

Упростим уравнение: -2sin(x) = √3 * sin(x) / cos(x)

Домножаем обе части уравнения на cos(x): -2sin(x)cos(x) = √3sin(x)

Используем тригонометрическое тождество sin(2x) = 2sin(x)cos(x): -sin(2x) = √3sin(x)

Поделим обе части уравнения на sin(x): -sin(2x) / sin(x) = √3

Используем тригонометрическое тождество sin(2x) = 2sin(x)cos(x) и sin(x) = sin(x): -2cos(x) = √3

Делим обе части уравнения на -2: cos(x) = -√3/2

Таким образом, решением исходного уравнения будет x = 5π/6 + 2πn, где n - целое число.