2sin^2 x+7cosx+2=0 решите пожалуйста!
2sin^2 x+7cosx+2=0 решите пожалуйста!
Решим уравнение ( 2\sin^2(x) + 7\cos(x) + 2 = 0 ).
Первым шагом является преобразование уравнения таким образом, чтобы оно содержало только одну тригонометрическую функцию. Мы знаем, что (\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)). Подставим это выражение в наше уравнение:
[ 2(1 - \cos^2(x)) + 7\cos(x) + 2 = 0 ]
Теперь раскроем скобки:
[ 2 - 2\cos^2(x) + 7\cos(x) + 2 = 0 ]
Объединим все члены:
[ -2\cos^2(x) + 7\cos(x) + 4 = 0 ]
Теперь это квадратное уравнение относительно (\cos(x)). Для удобства заменим (\cos(x)) на ( t):
[ -2t^2 + 7t + 4 = 0 ]
Теперь решим это квадратное уравнение. Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения ( at^2 + bt + c = 0 ):
[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]
В нашем случае ( a = -2 ), ( b = 7 ), ( c = 4 ). Подставим эти значения в формулу:
[ t = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 4}}{2 \cdot (-2)} ]
Посчитаем дискриминант:
[ D = 7^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 4 = 49 + 32 = 81 ]
Теперь подставим дискриминант в формулу для корней:
[ t = \frac{-7 \pm \sqrt{81}}{-4} ] [ t = \frac{-7 \pm 9}{-4} ]
Получим два корня:
[ t_1 = \frac{-7 + 9}{-4} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2} ] [ t_2 = \frac{-7 - 9}{-4} = \frac{-16}{-4} = 4 ]
Итак, у нас есть два значения для (\cos(x)):
Рассмотрим каждое из них.
Это значение косинуса возможно. Найдем значения (x):
[ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{(где } k \text{ - целое число)} ]
Это значение косинуса невозможно, так как косинус принимает значения только в диапазоне от -1 до 1. Поэтому это решение отклоняем.
Итак, единственное решение уравнения:
[ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{(где } k \text{ - целое число)} ]
Данное уравнение не является квадратным относительно синуса или косинуса. Для его решения нужно преобразовать его с использованием тригонометрических тождеств.
Для решения уравнения 2sin^2(x) + 7cos(x) + 2 = 0, мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами. Прежде всего, заметим, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Мы можем выразить sin^2(x) через cos(x) следующим образом: sin^2(x) = 1 - cos^2(x).
Подставляя это выражение в уравнение, получаем:
2(1 - cos^2(x)) + 7cos(x) + 2 = 0 2 - 2cos^2(x) + 7cos(x) + 2 = 0 -2cos^2(x) + 7cos(x) + 4 = 0
Теперь представим это уравнение в виде квадратного уравнения относительно cos(x): -2cos^2(x) + 7cos(x) + 4 = 0. Решая это уравнение с помощью дискриминанта, получаем:
D = 7^2 - 4(-2)4 = 49 + 32 = 81
cos(x)1,2 = (-7 ± √81) / (-4) = (-7 ± 9) / (-4)
cos(x)1 = 2/(-4) = -1/2 cos(x)2 = 16/(-4) = -4
Таким образом, уравнение имеет два корня: cos(x)1 = -1/2 и cos(x)2 = -4. Теперь найдем значения sin(x) для каждого из корней cos(x):
sin(x)1 = √(1 - cos^2(x)1) = √(1 - (-1/2)^2) = √(1 - 1/4) = √3/2 sin(x)2 = √(1 - cos^2(x)2) = √(1 - (-4)^2) = √(1 - 16) = не существует
Итак, уравнение 2sin^2(x) + 7cos(x) + 2 = 0 имеет одно решение: x1 = arcsin(√3/2), x2 = arccos(-1/2).
