2sin^2x- корень из 3cos(pi/2 - x) =0
2sin^2x- корень из 3cos(pi/2 - x) =0
Давайте разберем уравнение (2\sin^2x - \sqrt{3}\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = 0).
Упростим выражение (\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)):
По формуле приведения (\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x). Таким образом, уравнение переписывается в виде: [ 2\sin^2x - \sqrt{3}\sin x = 0. ]
Вынесем (\sin x) за скобки:
[ \sin x (2\sin x - \sqrt{3}) = 0. ]
Это произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, у нас есть два уравнения:
[ \sin x = 0 ] и [ 2\sin x - \sqrt{3} = 0. ]
Решим первое уравнение (\sin x = 0):
(\sin x = 0) при (x = \pi n), где (n) — целое число.
Решим второе уравнение (2\sin x - \sqrt{3} = 0):
[ 2\sin x = \sqrt{3} ] [ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}. ]
(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}) при (x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k) и (x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k), где (k) — целое число.
Объединим все решения:
Таким образом, общее решение уравнения: [ x = \pi n, ] [ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, ] [ x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, ] где (n) и (k) — целые числа.
Это полный набор решений для данного тригонометрического уравнения.
Для решения данного уравнения, необходимо преобразовать его сначала к более удобному виду. Для этого воспользуемся тригонометрическими тождествами: sin^2(x) + cos^2(x) = 1 и cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b).
Имеем: 2sin^2(x) - √3cos(π/2 - x) = 0 Раскроем cos(π/2 - x) с помощью тригонометрического тождества: cos(π/2 - x) = cos(π/2)cos(x) + sin(π/2)sin(x) = 0cos(x) + 1sin(x) = sin(x)
Подставляем обратно в уравнение: 2sin^2(x) - √3sin(x) = 0 Факторизуем: sin(x)(2sin(x) - √3) = 0
Таким образом, у нас есть два возможных варианта решения: 1) sin(x) = 0 2) 2sin(x) - √3 = 0
Первое уравнение sin(x) = 0 имеет решение x = kπ, где k - целое число.
Второе уравнение 2sin(x) - √3 = 0 дает sin(x) = √3/2, что соответствует значениям sin(x) на интервале [0, π]. Таким образом, x = π/3.
Итак, решения уравнения 2sin^2(x) - √3cos(π/2 - x) = 0: x = kπ, где k - целое число, и x = π/3.
