2sin(π+x)*sin(π/2+x)=sinx Найдите все корни этого уравнения принадлежащих к отрезку [3π;9π\2]

Для решения данного уравнения необходимо преобразовать его с помощью тригонометрических тождеств.

Используем формулу синуса суммы: sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

Преобразуем уравнение: 2sin(π+x) sin(π/2+x) = sinx 2(sin(π)cos(x) + cos(π)sin(x)) (cos(π/2)sin(x) + sin(π/2)cos(x)) = sinx 2(0 cos(x) + (-1) sin(x)) (0 sin(x) + 1 * cos(x)) = sinx -2sin(x)cos(x) = sinx -sin(2x) = sinx

Теперь решим уравнение: -sin(2x) = sinx sin(2x) = -sinx 2sin(x)cos(x) = -sinx 2cos(x) = -1 cos(x) = -1/2

Так как cos(x) = -1/2, то угол x находится во второй и третьей четвертях, где cos(x) отрицателен. Из таблицы значений тригонометрических функций видно, что второй квадрант соответствует углам, в которых sin(x) положителен, а cos(x) отрицателен. Таким образом, на отрезке [3π;9π\2] корень уравнения sin(x) = -1/2 не содержится.

Итак, уравнение 2sin(π+x) * sin(π/2+x) = sinx не имеет корней на отрезке [3π;9π\2].

Для решения уравнения (2\sin(\pi + x)\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \sin x), воспользуемся тригонометрическими тождествами и свойствами тригонометрических функций.

Сначала преобразуем левую часть уравнения с помощью формулы для произведения синусов:

[ 2\sin A \sin B = \cos(A - B) - \cos(A + B). ]

Подставим (A = \pi + x) и (B = \frac{\pi}{2} + x):

[ 2\sin(\pi + x)\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos\left((\pi + x) - \left(\frac{\pi}{2} + x\right)\right) - \cos\left((\pi + x) + \left(\frac{\pi}{2} + x\right)\right). ]

Упростим выражения:

1. ((\pi + x) - \left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}).

2. ((\pi + x) + \left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \pi + \frac{\pi}{2} + 2x = \frac{3\pi}{2} + 2x).

Подставим обратно в уравнение:

[ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - \cos\left(\frac{3\pi}{2} + 2x\right) = \sin x. ]

Поскольку (\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0), уравнение упрощается до:

[ -\cos\left(\frac{3\pi}{2} + 2x\right) = \sin x. ]

Известно, что (\cos\left(\frac{3\pi}{2} + 2x\right) = \sin(2x)) (поскольку (\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \theta\right) = -\sin\theta)), таким образом уравнение выглядит следующим образом:

[ -\sin(2x) = \sin x. ]

Перенесем все в левую часть:

[ -\sin(2x) - \sin x = 0. ]

Или:

[ -\sin(2x) = \sin x. ]

Умножим обе части на (-1):

[ \sin(2x) = -\sin x. ]

Используем формулу для синуса суммы:

[ \sin(2x) = 2\sin x \cos x. ]

Таким образом, уравнение становится:

[ 2\sin x \cos x = -\sin x. ]

Переносим все члены в одну часть:

[ 2\sin x \cos x + \sin x = 0. ]

Вынесем (\sin x) за скобки:

[ \sin x (2\cos x + 1) = 0. ]

Отсюда следует, что (\sin x = 0) или (2\cos x + 1 = 0).

1. (\sin x = 0) даёт (x = k\pi), где (k) — целое число.
2. (2\cos x + 1 = 0) даёт (\cos x = -\frac{1}{2}), откуда следует (x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n), где (n) — целое число.

Теперь найдём корни на отрезке ([3\pi; \frac{9\pi}{2}]).

1. Для (\sin x = 0):
   (x = k\pi). На отрезке ([3\pi; \frac{9\pi}{2}]) это (x = 3\pi, 4\pi).

2. Для (\cos x = -\frac{1}{2}):
   (x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n) и (x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n).

   • (x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n) даёт (x = \frac{8\pi}{3}, \frac{14\pi}{3}).
   • (x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n) даёт (x = \frac{4\pi}{3}, \frac{10\pi}{3}).

Корни уравнения на отрезке ([3\pi; \frac{9\pi}{2}]) это (x = 3\pi, 4\pi, \frac{8\pi}{3}, \frac{10\pi}{3}).