3 arcsin (1/2)+4 arccos((-корень из 2)/2)-arctg((-корень из 3)/3)

Для решения данного выражения сначала найдем значения арксинуса, арккосинуса и арктангенса для соответствующих аргументов.

1. arcsin(1/2) = π/6, так как sin(π/6) = 1/2.
2. arccos(-√2/2) = 3π/4, так как cos(3π/4) = -√2/2.
3. arctg(-√3/3) = -π/6, так как tg(-π/6) = -√3/3.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

3π/6 + 4 * 3π/4 - (-π/6) = π/2 + 3π - (-π/6) = π/2 + 3π + π/6 = 3π/2 + π/6 = 8π/6 + π/6 = 9π/6 = 3π.

Итак, значение выражения 3arcsin(1/2) + 4arccos(-√2/2) - arctg(-√3/3) равно 3π.

Давайте разберем выражение (3 \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + 4 \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \arctan\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)).

1. Вычисление (\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)):

   Функция (\arcsin(x)) обозначает угол (\theta) (в радианах), для которого (\sin(\theta) = x). Известно, что (\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}). Следовательно, (\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}).

   Таким образом, (3 \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = 3 \times \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}).

2. Вычисление (\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)):

   Функция (\arccos(x)) обозначает угол (\theta) (в радианах), для которого (\cos(\theta) = x). Известно, что (\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}). Следовательно, (\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4}).

   Таким образом, (4 \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 4 \times \frac{3\pi}{4} = 3\pi).

3. Вычисление (\arctan\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)):

   Функция (\arctan(x)) обозначает угол (\theta) (в радианах), для которого (\tan(\theta) = x). Известно, что (\tan(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}). Следовательно, (\arctan\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{\pi}{6}).

   Таким образом, (-\arctan\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{6}).

Теперь, подставив все найденные значения, мы получаем:

[ 3 \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + 4 \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \arctan\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{2} + 3\pi + \frac{\pi}{6} ]

Приведём к общему знаменателю:

[ \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{6}, \quad 3\pi = \frac{18\pi}{6}, \quad \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} ]

Сложим дроби:

[ \frac{3\pi}{6} + \frac{18\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{22\pi}{6} = \frac{11\pi}{3} ]

Таким образом, значение выражения равно (\frac{11\pi}{3}).

Получится 2π/3.