√3 cos x - sin x = 0 срочно
√3 cos x - sin x = 0 срочно
Решим уравнение (\sqrt{3} \cos x - \sin x = 0).
Перепишем уравнение: [ \sqrt{3} \cos x = \sin x ]
Разделим обе стороны на (\cos x) (при условии, что (\cos x \neq 0)): [ \sqrt{3} = \tan x ]
Найдем углы, для которых (\tan x = \sqrt{3}): Значение (\tan x = \sqrt{3}) достигается при углах: [ x = \frac{\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ] Здесь (k) — любое целое число, так как тангенс имеет период (\pi).
Проверим, при каких значениях (\cos x = 0): У нас также есть случаи, когда (\cos x = 0). При этом (\sin x) будет равно 1 или -1. Однако в этом уравнении (\sqrt{3} \cos x) равняется 0, и мы не получим дополнительных решений в этом случае.
Запишем окончательное решение: Таким образом, общее решение данного уравнения: [ x = \frac{\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]
Это и есть все решения уравнения (\sqrt{3} \cos x - \sin x = 0).
Давайте решим уравнение (\sqrt{3} \cos x - \sin x = 0).
Переносим (-\sin x) в правую часть: [ \sqrt{3} \cos x = \sin x. ]
Для этого предположим, что (\cos x \neq 0) (если (\cos x = 0), то решим отдельно). Делим обе стороны на (\cos x): [ \sqrt{3} = \frac{\sin x}{\cos x}. ] Напомним, что (\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x), поэтому: [ \tan x = \sqrt{3}. ]
Значение (\tan x = \sqrt{3}) соответствует углу (\frac{\pi}{3}) в тригонометрической окружности. Однако, поскольку тангенс является периодической функцией с периодом (\pi), общее решение имеет вид: [ x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. ]
Если (\cos x = 0), то (\tan x) не определен. При этом (\cos x = 0) соответствует значениям: [ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. ] Однако, подставляя эти значения в исходное уравнение (\sqrt{3} \cos x - \sin x = 0), получаем (-\sin x = 0), то есть (\sin x = 0). Это противоречит условию, что (\cos x = 0). Таким образом, решений в этом случае нет.
Общее решение уравнения: [ x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. ]
