√3 cos2x=3-3(sinx+cosx)²

√3 cos2x = 3 - 3(sin x + cos x)² cos2x = (3 - 3(sin x + cos x)²) / √3 cos2x = (3 - 3(sin² x + 2sin x cos x + cos² x)) / √3 cos2x = (3 - 3 - 3sin² x - 6sin x cos x - 3cos² x) / √3 cos2x = (-3sin² x - 6sin x cos x - 3cos² x) / √3 cos2x = -3(sin² x + 2sin x cos x + cos² x) / √3 cos2x = -3(cos x + sin x)² / √3

Данное уравнение является тригонометрическим уравнением, которое можно решить с помощью подходящих тригонометрических тождеств и преобразований.

1. Разложим квадрат косинуса через тригонометрические тождества: cos^2(x) = (1 + cos(2x)) / 2

Теперь уравнение примет вид: √3 * (1 + cos(2x)) / 2 = 3 - 3(sin(x) + cos(x))^2

1. Упростим правую часть уравнения: 3 - 3(sin(x) + cos(x))^2 = 3 - 3(sin^2(x) + 2sin(x)cos(x) + cos^2(x)) = 3 - 3(sin^2(x) + cos^2(x) + 2sin(x)cos(x)) = 3 - 3(1 + sin(2x)) = 3 - 3 - 3sin(2x) = -3sin(2x)

2. Подставим это обратно в уравнение: √3 * (1 + cos(2x)) / 2 = -3sin(2x)

3. Разберемся с косинусом двойного угла: cos(2x) = 2cos^2(x) - 1 cos(2x) = 2(1 + cos(2x)) / 2 - 1 cos(2x) = 1 + cos(2x) - 1 cos(2x) = cos(2x)

Получается, что уравнение не имеет решений.

Для решения уравнения (\sqrt{3} \cos 2x = 3 - 3 (\sin x + \cos x)^2), давайте разберем его пошагово.

1. Используем тригонометрические тождества: [ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x ] и [ (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x ] Поскольку (\sin^2 x + \cos^2 x = 1), то [ (\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2\sin x \cos x. ]

2. Подставим это в уравнение: [ \sqrt{3} (\cos^2 x - \sin^2 x) = 3 - 3(1 + 2\sin x \cos x). ] Упростим правую часть: [ 3 - 3(1 + 2\sin x \cos x) = 3 - 3 - 6\sin x \cos x = -6\sin x \cos x. ] Таким образом, уравнение примет вид: [ \sqrt{3} (\cos^2 x - \sin^2 x) = -6 \sin x \cos x. ]

3. Разделим обе части уравнения на (\cos x) (при условии, что (\cos x \neq 0)): [ \sqrt{3} \left( \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos x} \right) = -6 \sin x. ] Упростим дробь: [ \sqrt{3} (\cos x - \sin x \tan x) = -6 \sin x. ]

4. Рассмотрим два возможных случая:

   • Если (\cos x = 0): [ x = \frac{\pi}{2} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}. ] Проверим, удовлетворяют ли эти значения начальному уравнению. Подставим (x = \frac{\pi}{2}): [ \sqrt{3} \cos (\pi) = 3 - 3 (\sin (\frac{\pi}{2}) + \cos (\frac{\pi}{2}))^2. ] [ \sqrt{3} \cdot (-1) = 3 - 3 (1 + 0)^2. ] [ -\sqrt{3} = 0, ] что неверно. Следовательно, данный случай не подходит.

   • Если (\cos x \neq 0): [ \sqrt{3} (\cos x - \sin x \tan x) = -6 \sin x. ] Упростим: [ \sqrt{3} \cos x - \sqrt{3} \sin x \tan x = -6 \sin x. ] [ \sqrt{3} \cos x - \sqrt{3} \sin x \frac{\sin x}{\cos x} = -6 \sin x. ] [ \sqrt{3} \cos x - \frac{\sqrt{3} \sin^2 x}{\cos x} = -6 \sin x. ] Умножим обе части на (\cos x): [ \sqrt{3} \cos^2 x - \sqrt{3} \sin^2 x = -6 \sin x \cos x. ] Используем (\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x): [ \sqrt{3} \cos 2x = -6 \sin x \cos x. ] Используем (\sin 2x = 2 \sin x \cos x): [ \sqrt{3} \cos 2x = -3 \sin 2x. ]

5. Получили уравнение: [ \sqrt{3} \cos 2x + 3 \sin 2x = 0. ] [ \cos 2x = -\sqrt{3} \sin 2x. ] Разделим на (\cos 2x) при условии, что (\cos 2x \neq 0): [ 1 = -\sqrt{3} \tan 2x. ] [ \tan 2x = -\frac{1}{\sqrt{3}}. ] [ \tan 2x = -\frac{\sqrt{3}}{3}. ] Это значение тангенса соответствует углу: [ 2x = -\frac{\pi}{6} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

6. Найдем (x): [ x = -\frac{\pi}{12} + \frac{n\pi}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

Таким образом, решение уравнения: [ x = -\frac{\pi}{12} + \frac{n\pi}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}. ]