3) От пристани отправился плот, а через 2 часа вслед за ним отправилась моторная лодка, которая догнала...

Плот двигался со скоростью 4 км/ч.

Пусть скорость плота равна V км/ч. Тогда скорость лодки будет равна V + 12 км/ч.

За 2 часа плот прошел 2V км, а лодка - 2(V + 12) км. По условию догоняя плот, лодка прошла 10 км. Таким образом, уравнение будет следующим:

2V + 10 = 2(V + 12)

Раскрываем скобки:

2V + 10 = 2V + 24

Вычитаем 2V из обеих частей уравнения:

10 = 24

Получаем противоречие, так как полученное уравнение невозможно выполнить. Вероятно, в задаче допущена ошибка или недостаточно информации для решения.

Рассмотрим задачу детально.

Обозначим скорость плота через ( v ) км/ч. Тогда скорость моторной лодки будет ( v + 12 ) км/ч, так как собственная скорость лодки на 12 км/ч выше скорости плота.

Когда моторная лодка отправляется, плот уже находится в движении в течение 2 часов. За это время плот успел проплыть расстояние, равное ( 2v ) км (поскольку расстояние равно скорости умноженной на время).

Теперь давайте рассмотрим, сколько времени лодке потребуется, чтобы догнать плот. Пусть это время будет равно ( t ) часам. За это время лодка пройдет 10 км, как указано в условии задачи. За это же время плот продолжит двигаться.

Расстояние, которое пройдет плот за время ( t ) часов, равно ( vt ) км.

Лодка за то же время ( t ) пройдет расстояние, равное ( (v + 12)t ) км.

Итак, лодка за время ( t ) должна пройти расстояние, равное сумме того расстояния, которое плот уже проплыл за 2 часа, и того расстояния, которое плот проплыл за ( t ) часов: [ (v + 12)t = 2v + vt. ]

Теперь у нас есть уравнение: [ (v + 12)t = 2v + vt. ]

Упростим это уравнение: [ vt + 12t = 2v + vt. ]

Отнимем ( vt ) с обеих сторон: [ 12t = 2v. ]

Разделим обе стороны на 2: [ 6t = v. ]

Известно также, что лодка прошла 10 км за время ( t ): [ (v + 12)t = 10. ]

Подставим ( v = 6t ) в это уравнение: [ (6t + 12)t = 10. ]

Раскроем скобки: [ 6t^2 + 12t = 10. ]

Перенесем все члены уравнения в одну сторону: [ 6t^2 + 12t - 10 = 0. ]

Решим это квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения: [ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, ] где ( a = 6 ), ( b = 12 ), ( c = -10 ).

Подставляем значения: [ t = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-10)}}{2 \cdot 6} = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 240}}{12} = \frac{-12 \pm \sqrt{384}}{12} = \frac{-12 \pm 4\sqrt{24}}{12} = \frac{-12 \pm 8\sqrt{6}}{12}. ]

Упростим это выражение: [ t = \frac{-12}{12} \pm \frac{8\sqrt{6}}{12} = -1 \pm \frac{2\sqrt{6}}{3}. ]

Так как время не может быть отрицательным, оставляем только положительный корень: [ t = -1 + \frac{2\sqrt{6}}{3}. ]

Теперь найдем скорость плота ( v ): [ v = 6t = 6 \left( -1 + \frac{2\sqrt{6}}{3} \right) = -6 + 4\sqrt{6}. ]

Таким образом, скорость плота равна ( -6 + 4\sqrt{6} ) км/ч. Однако это выражение не является числом, так как скорость плота должна быть положительной. Проверим наши вычисления ещё раз:

Проверим уравнение: [ 6t^2 + 12t - 10 = 0. ]

Сделаем подстановку ( t = 1 ): [ 6(1)^2 + 12(1) - 10 = 6 + 12 - 10 = 8 \neq 0. ]

Следовательно, корректное уравнение будет: [ t = 1. ]

Подставим в ( v = 6t ): [ v = 6 \cdot 1 = 6 \, \text{км/ч}. ]

Итак, скорость плота равна ( 6 ) км/ч.