(30 баллов) Сколько существует двузначных чисел в которых цифры не повторяются?

Чтобы решить задачу, найдем количество двузначных чисел, в которых цифры не повторяются. Двузначное число состоит из двух цифр: первая (десятки) и вторая (единицы).

Шаг 1. Определим диапазон двузначных чисел.

Двузначные числа находятся в диапазоне от 10 до 99. Всего в этом диапазоне ( 99 - 10 + 1 = 90 ) чисел.

Шаг 2. Условие на уникальность цифр.

Цифры числа не должны повторяться. Это значит, что первая цифра (десятки) и вторая цифра (единицы) должны быть разными.

• Первая цифра (десятки) не может быть равна нулю, так как тогда число станет однозначным. Следовательно, первая цифра может принимать значения от ( 1 ) до ( 9 ) — всего 9 вариантов.
• Вторая цифра (единицы) должна быть отличной от первой. Так как всего цифр 10 (от ( 0 ) до ( 9 )), а одна из них уже занята в позиции десятков, для второй цифры остается ( 10 - 1 = 9 ) вариантов.

Шаг 3. Подсчитаем количество чисел.

Теперь мы можем подсчитать общее количество таких чисел. Для каждой из 9 возможных цифр в позиции десятков можно выбрать одну из 9 оставшихся цифр для позиции единиц. Это дает нам: [ 9 \cdot 9 = 81 ] Таким образом, существует 81 двузначное число, в котором цифры не повторяются.

Шаг 4. Проверка результата.

Чтобы убедиться в правильности решения, рассмотрим пример:

• Если первая цифра равна ( 1 ), вторая может быть любой из ( 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ) — то есть 9 вариантов.
• Если первая цифра равна ( 2 ), вторая может быть ( 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ) — снова 9 вариантов.
• Аналогично для всех других значений первой цифры.

Такое распределение повторяется для всех ( 9 ) значений первой цифры, что подтверждает результат ( 9 \cdot 9 = 81 ).

Ответ:

Существует 81 двузначное число, в котором цифры не повторяются.

Для нахождения количества двузначных чисел, в которых цифры не повторяются, начнем с определения формата двузначного числа. Двузначное число имеет форму ( AB ), где ( A ) – это первая цифра (десятки), а ( B ) – вторая цифра (единицы).

1. Выбор первой цифры ( A ): Первая цифра ( A ) может принимать значения от 1 до 9 (так как двузначное число не может начинаться с 0). Таким образом, у нас есть 9 возможных вариантов для выбора цифры ( A ).

2. Выбор второй цифры ( B ): Вторая цифра ( B ) может принимать значения от 0 до 9, но она не может совпадать с первой цифрой ( A ). Таким образом, если первая цифра была выбрана, для второй цифры остаётся 9 возможных вариантов (все цифры от 0 до 9, за исключением уже выбранной первой цифры).

Теперь мы можем посчитать общее количество двузначных чисел с неповторяющимися цифрами, используя правило произведения:

[ \text{Количество двузначных чисел} = \text{Количество вариантов для } A \times \text{Количество вариантов для } B ]

Подставляем значения:

[ \text{Количество двузначных чисел} = 9 \times 9 = 81 ]

Таким образом, существует 81 двузначное число, в котором цифры не повторяются.