3cos^2x-sinx-1=0 (объясните пожалуйста как это решать)

Для решения уравнения 3cos^2x - sinx - 1 = 0 можно воспользоваться тригонометрическими тождествами. Сначала заметим, что cos^2x = 1 - sin^2x. Подставим это выражение в уравнение: 3(1 - sin^2x) - sinx - 1 = 0. Раскроем скобки: 3 - 3sin^2x - sinx - 1 = 0. Получим квадратное уравнение относительно sinx: -3sin^2x - sinx + 2 = 0. Решим это уравнение с помощью дискриминанта: D = 1 - 4(-3)2 = 1 + 24 = 25. Корни уравнения: sinx1 = (1 + √25)/(-6) = -2/3, sinx2 = (1 - √25)/(-6) = 1/3. Так как sinx = cos(90° - x), найдем cosx: cosx1 = cos(90° - arcsin(-2/3)) ≈ 0.8, cosx2 = cos(90° - arcsin(1/3)) ≈ 0.6. Таким образом, решениями данного уравнения являются пары значений (x1, y1) = (arccos(0.8), -2/3) и (x2, y2) = (arccos(0.6), 1/3).

Для решения уравнения (3\cos^2x - \sin x - 1 = 0) используем тригонометрическую идентичность (\cos^2x = 1 - \sin^2x). Подставим её в уравнение:

[ 3(1 - \sin^2x) - \sin x - 1 = 0 ]

Раскроем скобки:

[ 3 - 3\sin^2x - \sin x - 1 = 0 ]

Упростим уравнение:

[ -3\sin^2x - \sin x + 2 = 0 ]

Домножим всё уравнение на (-1) для удобства:

[ 3\sin^2x + \sin x - 2 = 0 ]

Это квадратное уравнение относительно (\sin x). Обозначим (\sin x = t). Тогда уравнение принимает вид:

[ 3t^2 + t - 2 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант квадратного уравнения (at^2 + bt + c = 0) вычисляется по формуле (D = b^2 - 4ac).

Для нашего уравнения (a = 3), (b = 1), (c = -2):

[ D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 ]

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле:

[ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

Подставим значения (a), (b), (D):

[ t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{6} = \frac{-1 \pm 5}{6} ]

Получаем два корня:

[ t_1 = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} ]

[ t_2 = \frac{-1 - 5}{6} = \frac{-6}{6} = -1 ]

Теперь вернёмся к переменной (\sin x):

1. (\sin x = \frac{2}{3})
2. (\sin x = -1)

Решим для каждого случая:

1. (\sin x = \frac{2}{3})

Решение этого уравнения в общем виде:

[ x = \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi k ]

и

[ x = \pi - \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi k ]

где (k) — целое число.

1. (\sin x = -1)

Это уравнение имеет единственное решение в пределах одного периода:

[ x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k ]

где (k) — целое число.

Таким образом, общее решение уравнения (3\cos^2x - \sin x - 1 = 0) включает все найденные значения (x) для различных (k).