3cos^2x+5sinx+5=0 помогите пожалуйста

Чтобы решить уравнение ( 3\cos^2(x) + 5\sin(x) + 5 = 0 ), начнем с замены переменной. Используем известное тригонометрическое тождество:

[ \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) ]

Подставим это в уравнение:

[ 3(1 - \sin^2(x)) + 5\sin(x) + 5 = 0 ]

Раскроем скобки:

[ 3 - 3\sin^2(x) + 5\sin(x) + 5 = 0 ]

Соберем все члены в одном уравнении:

[ -3\sin^2(x) + 5\sin(x) + 8 = 0 ]

Умножим уравнение на -1, чтобы упростить его:

[ 3\sin^2(x) - 5\sin(x) - 8 = 0 ]

Теперь это квадратное уравнение относительно (\sin(x)). Чтобы решить его, воспользуемся формулой для решения квадратных уравнений:

[ \sin(x) = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

где (a = 3), (b = -5) и (c = -8).

Подставим значения в формулу:

[ \sin(x) = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8)}}{2 \cdot 3} ]

Посчитаем дискриминант:

[ D = 25 + 96 = 121 ]

Теперь подставим дискриминант в формулу:

[ \sin(x) = \frac{5 \pm \sqrt{121}}{6} = \frac{5 \pm 11}{6} ]

Решим два случая:

1. (\sin(x) = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}) — это значение больше 1, что невозможно для функции синуса. Следовательно, это решение не подходит.

2. (\sin(x) = \frac{-6}{6} = -1)

Теперь решим уравнение (\sin(x) = -1). Это значение достигается при:

[ x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Таким образом, единственным решением данного уравнения является:

[ x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Этим мы закончили решение уравнения ( 3\cos^2(x) + 5\sin(x) + 5 = 0 ).

Рассмотрим уравнение ( 3\cos^2x + 5\sin x + 5 = 0 ). Разберем его по шагам, чтобы решить.

Шаг 1. Преобразуем уравнение.

Используем основное тригонометрическое тождество: [ \cos^2x = 1 - \sin^2x. ]

Подставим это выражение в уравнение: [ 3(1 - \sin^2x) + 5\sin x + 5 = 0. ]

Раскрываем скобки: [ 3 - 3\sin^2x + 5\sin x + 5 = 0. ]

Приведем подобные слагаемые: [ -3\sin^2x + 5\sin x + 8 = 0. ]

Для удобства умножим уравнение на (-1), чтобы избавиться от отрицательного коэффициента перед (\sin^2x): [ 3\sin^2x - 5\sin x - 8 = 0. ]

Шаг 2. Введем замену.

Обозначим ( y = \sin x ), где ( -1 \leq y \leq 1 ) (так как синус лежит в этом интервале). Тогда уравнение становится квадратным: [ 3y^2 - 5y - 8 = 0. ]

Шаг 3. Решим квадратное уравнение.

Используем формулу корней квадратного уравнения: [ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, ] где ( a = 3 ), ( b = -5 ), ( c = -8 ).

Подставляем значения: [ y = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8)}}{2 \cdot 3}. ]

Считаем дискриминант: [ D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 25 + 96 = 121. ]

Так как дискриминант равен ( 121 ), вычисляем корни: [ y = \frac{5 \pm \sqrt{121}}{6}. ]

(\sqrt{121} = 11), поэтому: [ y = \frac{5 + 11}{6} \quad \text{или} \quad y = \frac{5 - 11}{6}. ]

Считаем оба корня: [ y_1 = \frac{5 + 11}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}, ] [ y_2 = \frac{5 - 11}{6} = \frac{-6}{6} = -1. ]

Шаг 4. Проверяем корни на допустимость.

Мы знаем, что (-1 \leq \sin x \leq 1). Таким образом, ( y = \frac{8}{3} ) не удовлетворяет этому условию (так как выходит за пределы возможных значений синуса). Остается только ( y = -1 ).

Шаг 5. Найдем значение ( x ).

При ( \sin x = -1 ), синус принимает это значение в точке: [ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

Ответ.

Решением уравнения является: [ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. ]