√3sin4x+cos4x=0 решите уравнение и найдите √3sin4x+cos4x=0 решите уравнение и найдите его корни,принадлежащие...

Уравнение √3sin4x + cos4x = 0 можно переписать в виде sin(4x + π/6) = 0. Так как sin(4x + π/6) = 0, то 4x + π/6 = kπ, где k - целое число. Решив это уравнение, получим: 4x = kπ - π/6, x = (kπ - π/6)/4.

На отрезке (-π/2; π/2) корни будут соответствовать значениям x, удовлетворяющим условиям -π/2 < x < π/2. Подставив соответствующие значения k, найдем корни уравнения.

Рассмотрим уравнение (\sqrt{3}\sin(4x) + \cos(4x) = 0).

Для удобства введем обозначение: (\theta = 4x). Тогда уравнение примет вид: [ \sqrt{3}\sin(\theta) + \cos(\theta) = 0. ]

Перенесем (\cos(\theta)) в правую часть: [ \sqrt{3}\sin(\theta) = -\cos(\theta). ]

Разделим обе части уравнения на (\cos(\theta)) (при этом (\cos(\theta) \neq 0)): [ \sqrt{3}\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = -1. ]

Так как (\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \tan(\theta)), получаем: [ \sqrt{3} \tan(\theta) = -1. ]

Разделим обе части уравнения на (\sqrt{3}): [ \tan(\theta) = -\frac{1}{\sqrt{3}}. ]

Значение (\tan(\theta) = -\frac{1}{\sqrt{3}}) соответствует углам: [ \theta = -\frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}. ]

Теперь вернемся к переменной (x): [ 4x = -\frac{\pi}{6} + \pi k. ]

Разделим обе части уравнения на 4: [ x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}. ]

Теперь найдем значения (x), которые принадлежат отрезку ((- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})).

Рассмотрим границы этих значений: [

• \frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4} < \frac{\pi}{2}. ]

Для удобства умножим все неравенства на 24: [ -12\pi < -\pi + 6\pi k < 12\pi. ]

Добавим (\pi) ко всем частям неравенства: [ -11\pi < 6\pi k < 13\pi. ]

Разделим все части на (6\pi): [ -\frac{11}{6} < k < \frac{13}{6}. ]

Так как (k) должно быть целым числом, возможные значения (k) это (k = -1, 0, 1, 2).

Теперь подставим эти значения (k) обратно в выражение для (x):

1. Для (k = -1): [ x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi (-1)}{4} = -\frac{\pi}{24} - \frac{6\pi}{24} = -\frac{7\pi}{24}. ]

2. Для (k = 0): [ x = -\frac{\pi}{24}. ]

3. Для (k = 1): [ x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{24} + \frac{6\pi}{24} = \frac{5\pi}{24}. ]

4. Для (k = 2): [ x = -\frac{\pi}{24} + \frac{2\pi}{4} = -\frac{\pi}{24} + \frac{12\pi}{24} = \frac{11\pi}{24}. ]

Таким образом, корни уравнения, принадлежащие отрезку ((- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})), это: [ x = -\frac{7\pi}{24}, -\frac{\pi}{24}, \frac{5\pi}{24}, \frac{11\pi}{24}. ]

Для начала преобразуем уравнение: √3sin4x + cos4x = 0 √3sin4x = -cos4x tan4x = -1/√3 4x = -pi/6 + pin, где n - целое число x = (-pi/6 + pin)/4, где n - целое число

Теперь найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку (-pi/2; pi/2): Для этого достаточно найти корень на отрезке (0; pi/2), так как функции sin и cos симметричны относительно начала координат.

Подставим n = 0: x = -pi/24

Таким образом, корень уравнения на отрезке (-pi/2; pi/2) равен x = -pi/24.