√3sin4x+cos4x=0 решите уравнение и найдите √3sin4x+cos4x=0 решите уравнение и найдите его корни,принадлежащие...

Уравнение √3sin4x + cos4x = 0 можно переписать в виде sin$4x+\pi /6$ = 0. Так как sin$4x+\pi /6$ = 0, то 4x + π/6 = kπ, где k - целое число. Решив это уравнение, получим: 4x = kπ - π/6, x = $k\pi -\pi /6$/4.

На отрезке $-\pi /2;\pi /2$ корни будут соответствовать значениям x, удовлетворяющим условиям -π/2 < x < π/2. Подставив соответствующие значения k, найдем корни уравнения.

Рассмотрим уравнение $\sqrt{3}\sin (4x$ + \cos$4x$ = 0).

Для удобства введем обозначение: $\theta =4x$. Тогда уравнение примет вид: $\sqrt{3}\sin (\theta )+\cos (\theta )=0.$

Перенесем $\cos (\theta$) в правую часть: $\sqrt{3}\sin (\theta )=-\cos (\theta ).$

Разделим обе части уравнения на $\cos (\theta$) $приэтом(\cos (\theta$ \neq 0)): $\sqrt{3}\frac{\sin (\theta )}{\cos (\theta )}=-1.$

Так как $\frac{\sin (\theta )}{\cos (\theta )}=\tan (\theta$), получаем: $\sqrt{3}\tan (\theta )=-1.$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$: $\tan (\theta )=-\frac{1}{\sqrt{3}}.$

Значение $\tan (\theta$ = -\frac{1}{\sqrt{3}}) соответствует углам: $\theta =-\frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$

Теперь вернемся к переменной $x$: $4x=-\frac{\pi }{6}+\pi k.$

Разделим обе части уравнения на 4: $x=-\frac{\pi }{24}+\frac{\pi k}{4}.$

Теперь найдем значения $x$, которые принадлежат отрезку $(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}$).

Рассмотрим границы этих значений: [

• \frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4} < \frac{\pi}{2}. ]

Для удобства умножим все неравенства на 24: $-12\pi <-\pi +6\pi k<12\pi .$

Добавим $\pi$ ко всем частям неравенства: $-11\pi <6\pi k<13\pi .$

Разделим все части на $6\pi$: $-\frac{11}{6}<k<\frac{13}{6}.$

Так как $k$ должно быть целым числом, возможные значения $k$ это $k=-1,0,1,2$.

Теперь подставим эти значения $k$ обратно в выражение для $x$:

1. Для $k=-1$: $x=-\frac{\pi }{24}+\frac{\pi (-1)}{4}=-\frac{\pi }{24}-\frac{6\pi }{24}=-\frac{7\pi }{24}.$

2. Для $k=0$: $x=-\frac{\pi }{24}.$

3. Для $k=1$: $x=-\frac{\pi }{24}+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{24}+\frac{6\pi }{24}=\frac{5\pi }{24}.$

4. Для $k=2$: $x=-\frac{\pi }{24}+\frac{2\pi }{4}=-\frac{\pi }{24}+\frac{12\pi }{24}=\frac{11\pi }{24}.$

Таким образом, корни уравнения, принадлежащие отрезку $(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}$), это: $x=-\frac{7\pi }{24},-\frac{\pi }{24},\frac{5\pi }{24},\frac{11\pi }{24}.$

Для начала преобразуем уравнение: √3sin4x + cos4x = 0 √3sin4x = -cos4x tan4x = -1/√3 4x = -pi/6 + pin, где n - целое число x = (-pi/6 + pin)/4, где n - целое число

Теперь найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку $-pi/2;pi/2$: Для этого достаточно найти корень на отрезке $0;pi/2$, так как функции sin и cos симметричны относительно начала координат.

Подставим n = 0: x = -pi/24

Таким образом, корень уравнения на отрезке $-pi/2;pi/2$ равен x = -pi/24.