3sin²x+sinxcosx-2cos²x=0
3sin²x+sinxcosx-2cos²x=0
Для решения уравнения ( 3\sin^2 x + \sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0 ) начнем с замены тригонометрических функций. Заменим (\sin x) и (\cos x) на более удобные переменные:
Обозначим ( y = \sin x ), тогда (\cos^2 x = 1 - y^2). Подставим это в уравнение:
[ 3y^2 + y\sqrt{1 - y^2} - 2(1 - y^2) = 0. ]
Теперь упростим уравнение:
[ 3y^2 + y\sqrt{1 - y^2} - 2 + 2y^2 = 0, ] [ 5y^2 + y\sqrt{1 - y^2} - 2 = 0. ]
Это уравнение сложно решать аналитически, поэтому рассмотрим его численно или графически. Однако мы можем вернуться к исходному уравнению и попробовать решить его другим способом.
Упрощая исходное уравнение, можно выразить все через (\sin x):
[ 3\sin^2 x - 2\cos^2 x + \sin x \cos x = 0. ]
Используя идентичность ( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x ):
[ 3\sin^2 x - 2(1 - \sin^2 x) + \sin x \sqrt{1 - \sin^2 x} = 0. ]
Это уравнение также становится сложным для прямого решения, поэтому вернемся к исходному уравнению и попробуем его решить другим способом.
Перепишем исходное уравнение в другой форме:
[ 3\sin^2 x + \sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0. ]
Попробуем сгруппировать его:
[ 3\sin^2 x - 2\cos^2 x + \sin x \cos x = 0. ]
Теперь выразим (\cos^2 x):
[ 3\sin^2 x + \sin x \cos x = 2\cos^2 x. ]
Разделим обе стороны на (\cos^2 x) (при условии, что (\cos x \neq 0)):
[ \frac{3\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin x}{\cos x} = 2. ]
Таким образом, можно выразить это в терминах тангенса:
[ 3\tan^2 x + \tan x = 2. ]
Теперь обозначим ( t = \tan x ). Получаем квадратное уравнение:
[ 3t^2 + t - 2 = 0. ]
Решим это уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения:
[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2)}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{6} = \frac{-1 \pm 5}{6}. ]
Это дает два решения:
Теперь вернемся к углам:
[ \tan x = \frac{2}{3} \implies x = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. ]
[ \tan x = -1 \implies x = \frac{3\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. ]
Таким образом, окончательные решения уравнения (3\sin^2 x + \sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0) будут:
[ x = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}, ] [ x = \frac{3\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. ]
Для решения уравнения (3\sin^2 x + \sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0) можно воспользоваться заменой (y = \sin x) и использовать формулу (\cos^2 x = 1 - \sin^2 x).
Подставляем:
[ 3y^2 + y\sqrt{1-y^2} - 2(1-y^2) = 0 ]
Однако проще решать уравнение в исходной форме. Переписываем его в виде:
[ 3\sin^2 x + \sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0 ]
Разделим на (\cos^2 x) (при условии, что (\cos x \neq 0)):
[ 3\tan^2 x + \tan x - 2 = 0 ]
Теперь решим квадратное уравнение:
[ 3y^2 + y - 2 = 0 ]
где (y = \tan x). Найдем корни:
[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{6} = \frac{-1 \pm 5}{6} ]
Получаем:
Теперь найдём (x):
(\tan x = \frac{2}{3} \Rightarrow x = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) + k\pi, k \in \mathbb{Z})
(\tan x = -1 \Rightarrow x = \frac{3\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z})
Таким образом, общее решение:
[ x = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) + k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{3\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]
Рассмотрим данное уравнение:
[ 3\sin^2x + \sin x \cos x - 2\cos^2x = 0. ]
Мы решим его шаг за шагом.
Заметим, что у нас есть как (\sin^2x), так и (\cos^2x). Напомним основное тригонометрическое тождество:
[ \sin^2x + \cos^2x = 1. ]
Из этого тождества можно выразить (\sin^2x) или (\cos^2x). Выразим, например, (\sin^2x = 1 - \cos^2x), и подставим в уравнение:
[ 3(1 - \cos^2x) + \sin x \cos x - 2\cos^2x = 0. ]
Раскрываем скобки:
[ 3 - 3\cos^2x + \sin x \cos x - 2\cos^2x = 0. ]
Приведём подобные слагаемые:
[ 3 - (3\cos^2x + 2\cos^2x) + \sin x \cos x = 0, ]
[ 3 - 5\cos^2x + \sin x \cos x = 0. ]
Для упрощения введём замену: обозначим (\cos x = t). Тогда (\sin x = \pm\sqrt{1 - t^2}) (учитывая, что (\sin^2x + \cos^2x = 1)).
Уравнение становится:
[ 3 - 5t^2 + t \cdot (\pm\sqrt{1 - t^2}) = 0. ]
Разделим уравнение на два случая в зависимости от знака перед (\sqrt{1 - t^2}).
[ 3 - 5t^2 + t\sqrt{1 - t^2} = 0. ]
[ 3 - 5t^2 - t\sqrt{1 - t^2} = 0. ]
В каждом из случаев решим уравнение. Однако процесс решения усложняется из-за наличия иррационального выражения (\sqrt{1 - t^2}). Чтобы упростить задачу, мы оставим анализ в терминах (\sin x) и (\cos x), избегая замены.
Вернёмся к исходному уравнению:
[ 3\sin^2x + \sin x \cos x - 2\cos^2x = 0. ]
Попробуем разложить выражение. Заметим, что уравнение можно переписать как:
[ 3\sin^2x - 2\cos^2x + \sin x \cos x = 0. ]
Разделим всё на (\cos^2x) (при условии (\cos^2x \neq 0)):
[ \frac{3\sin^2x}{\cos^2x} - 2 + \frac{\sin x}{\cos x} = 0. ]
Зная, что (\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}) и (\tan^2x = \frac{\sin^2x}{\cos^2x}), перепишем:
[ 3\tan^2x - 2 + \tan x = 0. ]
Обозначим (\tan x = t). Тогда уравнение становится квадратным:
[ 3t^2 + t - 2 = 0. ]
Решим квадратное уравнение [ 3t^2 + t - 2 = 0 ] по формуле корней:
[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, ]
где (a = 3), (b = 1), (c = -2). Подставляем:
[ t = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2)}}{2 \cdot 3}, ]
[ t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{6}, ]
[ t = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{6}. ]
[ t = \frac{-1 \pm 5}{6}. ]
Итак, получаем два корня:
[ t_1 = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}, ]
[ t_2 = \frac{-1 - 5}{6} = \frac{-6}{6} = -1. ]
Поскольку (t = \tan x), то:
Для каждого значения (\tan x) найдём (x):
Если (\tan x = \frac{2}{3}), то: [ x = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}. ]
Если (\tan x = -1), то: [ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}. ]
Общее решение уравнения:
[ x = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) + \pi n \quad \text{или} \quad x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}. ]
