3/у-2+7/у+2=10/у(найдите корни уравнения)

Для начала преобразуем уравнение, чтобы избавиться от дробей. Умножим каждое слагаемое на у*(у+2), чтобы избавиться от знаменателей:

3(у+2) - 2у(у+2) + 7у = 10

Раскроем скобки:

3у + 6 - 2у^2 - 4у + 7у = 10

Упростим уравнение:

у^2 - 6у - 4 = 0

Теперь решим квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

D = (-6)^2 - 41(-4) = 36 + 16 = 52

Так как дискриминант положителен, то уравнение имеет два корня. Найдем их, используя формулу для квадратного уравнения:

у1,2 = (-b ± √D) / 2a

у1 = (6 + √52) / 2 = (6 + 2√13) / 2 = 3 + √13

у2 = (6 - √52) / 2 = (6 - 2√13) / 2 = 3 - √13

Таким образом, корнями уравнения 3/у-2+7/у+2=10/у являются у1 = 3 + √13 и у2 = 3 - √13.

Давайте решим уравнение:

[ \frac{3}{y-2} + \frac{7}{y+2} = \frac{10}{y} ]

Для начала найдем общий знаменатель для всех дробей. Общий знаменатель в данном случае будет произведением всех отдельных знаменателей: (y(y-2)(y+2)).

Теперь преобразуем каждую дробь с этим общим знаменателем:

1. (\frac{3}{y-2}) нужно домножить на ((y+2)y), чтобы получить общий знаменатель: [ \frac{3(y+2)y}{(y-2)(y+2)y} = \frac{3y(y+2)}{y(y-2)(y+2)} ]

2. (\frac{7}{y+2}) нужно домножить на ((y-2)y), чтобы получить общий знаменатель: [ \frac{7(y-2)y}{(y+2)(y-2)y} = \frac{7y(y-2)}{y(y-2)(y+2)} ]

3. (\frac{10}{y}) нужно домножить на ((y-2)(y+2)), чтобы получить общий знаменатель: [ \frac{10(y-2)(y+2)}{y(y-2)(y+2)} ]

Теперь у нас уравнение с одинаковыми знаменателями:

[ \frac{3y(y+2) + 7y(y-2)}{y(y-2)(y+2)} = \frac{10(y-2)(y+2)}{y(y-2)(y+2)} ]

Поскольку знаменатели равны, можем приравнять числители:

[ 3y(y+2) + 7y(y-2) = 10(y-2)(y+2) ]

Раскроем скобки:

1. (3y(y+2) = 3y^2 + 6y)
2. (7y(y-2) = 7y^2 - 14y)
3. (10(y-2)(y+2) = 10(y^2 - 4) = 10y^2 - 40)

Теперь подставим обратно в уравнение:

[ 3y^2 + 6y + 7y^2 - 14y = 10y^2 - 40 ]

Объединим подобные члены:

[ (3y^2 + 7y^2) + (6y - 14y) = 10y^2 - 40 ]

[ 10y^2 - 8y = 10y^2 - 40 ]

Вычтем (10y^2) из обеих частей уравнения:

[ -8y = -40 ]

Разделим обе части уравнения на -8:

[ y = \frac{40}{8} = 5 ]

Итак, корень уравнения (y = 5).

Важно проверить, что при этом значении (y) ни один из знаменателей не обращается в ноль:

• (y - 2 = 5 - 2 = 3 \neq 0)
• (y + 2 = 5 + 2 = 7 \neq 0)
• (y = 5 \neq 0)

Таким образом, решение корректно и корень уравнения (y = 5).