4) Найдите корень уравнения (x−5)^2​=(x−8)^2

x = 6

Для начала раскроем скобки, чтобы упростить уравнение:

(x - 5)^2 = (x - 8)^2 x^2 - 10x + 25 = x^2 - 16x + 64

Теперь выразим x, объединив подобные члены:

-10x + 25 = -16x + 64 6x = 39 x = 39 / 6 x = 6.5

Итак, корень уравнения (x - 5)^2 = (x - 8)^2 равен x = 6.5.

Чтобы найти корень уравнения ((x - 5)^2 = (x - 8)^2), мы можем использовать несколько подходов. Один из них — раскрытие квадратов и приведение уравнения к более простому виду. Давайте рассмотрим этот метод подробно.

1. Раскроем обе квадратные скобки: [ (x - 5)^2 = (x - 8)^2 ] [ x^2 - 10x + 25 = x^2 - 16x + 64 ]

2. Упростим уравнение, вычтя (x^2) с обеих сторон: [ -10x + 25 = -16x + 64 ]

3. Переносим все члены с (x) на одну сторону и константы на другую: [ -10x + 16x = 64 - 25 ] [ 6x = 39 ]

4. Разделим обе стороны уравнения на 6, чтобы найти (x): [ x = \frac{39}{6} = 6.5 ]

Теперь проверим решение: Подставим (x = 6.5) в исходное уравнение: [ (6.5 - 5)^2 = (6.5 - 8)^2 ] [ (1.5)^2 = (-1.5)^2 ] [ 2.25 = 2.25 ]

Таким образом, решение (x = 6.5) является правильным.

Однако, существует еще один способ решения уравнения такого вида, который стоит рассмотреть. Если у нас есть уравнение вида (a^2 = b^2), то это эквивалентно двум возможностям: [ a = b \quad \text{или} \quad a = -b ]

Применим это к нашему уравнению: [ x - 5 = x - 8 \quad \text{или} \quad x - 5 = -(x - 8) ]

Рассмотрим первую возможность: [ x - 5 = x - 8 ] [ -5 = -8 ]

Это неравенство неверно, значит, первая возможность не дает корней.

Теперь рассмотрим вторую возможность: [ x - 5 = -(x - 8) ] [ x - 5 = -x + 8 ] [ 2x = 13 ] [ x = \frac{13}{2} = 6.5 ]

Таким образом, обе методики подтверждают, что корень уравнения ((x - 5)^2 = (x - 8)^2) равен (x = 6.5).