4cos^4x-3cos2x-1=0    объясните!пожалуйста

Для решения этого уравнения сначала заметим, что (cos(2x) = 2cos^2(x) - 1). Подставляем это выражение в уравнение и получаем:

(4cos^4(x) - 6cos^2(x) - 1 = 0).

Проведем замену переменной: обозначим (cos^2(x) = t), тогда уравнение примет вид:

(4t^2 - 6t - 1 = 0).

Решим это уравнение как квадратное относительно переменной (t):

(D = 6^2 - 44(-1) = 36 + 16 = 52).

(t_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{52}}{2*4} = \frac{6 \pm 2\sqrt{13}}{8} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{4}).

Теперь найдем значения (cos(x)) по найденным значениям (t):

(cos^2(x) = \frac{3 + \sqrt{13}}{4} \Rightarrow cos(x) = \pm \sqrt{\frac{3 + \sqrt{13}}{4}}).

(cos^2(x) = \frac{3 - \sqrt{13}}{4} \Rightarrow cos(x) = \pm \sqrt{\frac{3 - \sqrt{13}}{4}}).

Таким образом, уравнение имеет четыре корня: (cos(x) = \pm \sqrt{\frac{3 + \sqrt{13}}{4}}, cos(x) = \pm \sqrt{\frac{3 - \sqrt{13}}{4}}).

Давайте разберем уравнение (4\cos^4 x - 3\cos 2x - 1 = 0).

1. Используем формулы тригонометрии:

   Сначала упростим выражение, используя известные тригонометрические тождества. Обратите внимание, что у нас есть (\cos^4 x) и (\cos 2x). Мы можем выразить (\cos^4 x) через (\cos 2x) с помощью следующих тождеств:

   [ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 ]

   Это уравнение можно преобразовать в:

   [ \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} ]

   Тогда (\cos^4 x) выражается как:

   [ \cos^4 x = \left(\cos^2 x\right)^2 = \left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right)^2 ]

2. Подстановки и упрощения:

   Подставим выражение для (\cos^4 x) в уравнение:

   [ 4\left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right)^2 - 3\cos 2x - 1 = 0 ]

   Упростим это выражение:

   [ \frac{4(1 + 2\cos 2x + \cos^2 2x)}{4} - 3\cos 2x - 1 = 0 ]

   [ (1 + 2\cos 2x + \cos^2 2x) - 3\cos 2x - 1 = 0 ]

   [ \cos^2 2x - \cos 2x = 0 ]

3. Решение квадратного уравнения:

   Разложим уравнение (\cos^2 2x - \cos 2x = 0) на множители:

   [ \cos 2x (\cos 2x - 1) = 0 ]

   Из этого уравнения у нас два возможных решения:

   а) (\cos 2x = 0)

   б) (\cos 2x = 1)

4. Найдем значения (x):

   а) (\cos 2x = 0)

   [ 2x = \frac{\pi}{2} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} ]

   [ x = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} ]

   б) (\cos 2x = 1)

   [ 2x = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

   [ x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Таким образом, решения данного уравнения:

• (x = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}, \quad n \in \mathbb{Z})
• (x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z})

Эти решения покрывают все возможные значения (x), удовлетворяющие исходному уравнению.

Данное уравнение является тригонометрическим уравнением, где нужно найти значения угла x, при которых уравнение будет выполняться. Для решения такого уравнения нужно использовать тригонометрические тождества и методы решения тригонометрических уравнений.