5х+3у=17 все целочисленные решения! Вместе с системами

Для уравнения (5x + 3y = 17) требуется найти все целочисленные решения, то есть такие пары ((x, y)), где (x) и (y) — целые числа. Это линейное диофантово уравнение, и для его решения мы можем использовать метод поиска частного решения и общее решение.

Шаг 1: Найти частное решение

Сначала попробуем найти одно частное решение этого уравнения. Мы можем это сделать, подставляя различные целочисленные значения для (x) и проверяя, получится ли целое (y).

Проверим (x = 2): [ 5 \cdot 2 + 3y = 17 \implies 10 + 3y = 17 \implies 3y = 7 \implies y = \frac{7}{3} ] (y) не является целым числом.

Проверим (x = 1): [ 5 \cdot 1 + 3y = 17 \implies 5 + 3y = 17 \implies 3y = 12 \implies y = 4 ] Здесь (y) — целое число. Значит, ((1, 4)) — частное целочисленное решение.

Шаг 2: Общее решение

Общее решение линейного диофантова уравнения можно выразить в параметрической форме. Так как уравнение имеет вид (5x + 3y = 17), мы можем использовать следующую формулу для общего решения:

Если ((x_0, y_0)) — частное решение, то общее решение будет: [ x = x_0 + 3t ] [ y = y_0 - 5t ] где (t) — произвольное целое число.

Подставим частное решение ((1, 4)): [ x = 1 + 3t ] [ y = 4 - 5t ]

Шаг 3: Проверка

Теперь убедимся, что данное решение удовлетворяет исходному уравнению: [ 5x + 3y = 5(1 + 3t) + 3(4 - 5t) = 5 + 15t + 12 - 15t = 17 ] Это подтверждает, что общее решение верно.

Итог

Все целочисленные решения уравнения (5x + 3y = 17) можно записать в виде: [ x = 1 + 3t ] [ y = 4 - 5t ] где (t) — любое целое число.

Примеры целочисленных решений:

• При (t = 0), ((x, y) = (1, 4))
• При (t = 1), ((x, y) = (4, -1))
• При (t = -1), ((x, y) = (-2, 9))

Таким образом, мы нашли и проверили общее решение для всех целочисленных пар ((x, y)), удовлетворяющих данному уравнению.

Для нахождения всех целочисленных решений данного уравнения 5x + 3y = 17, мы можем использовать метод перебора или метод подстановки.

1. Метод перебора: Мы можем перебирать все целочисленные значения x и для каждого из них находить соответствующее значение y, которое удовлетворяет уравнению. Например, при x = 1, уравнение примет вид 5*1 + 3y = 17, откуда y = 4. Таким образом, одним из целочисленных решений будет (1, 4).

2. Метод подстановки: Для более систематического подхода, мы можем выразить y через x из данного уравнения. Получаем y = (17 - 5x) / 3. Поскольку мы ищем целочисленные решения, необходимо, чтобы (17 - 5x) было кратно 3. Подставляя различные значения x, мы можем найти соответствующие значения y и определить все целочисленные решения.

Таким образом, целочисленные решения уравнения 5x + 3y = 17 будут зависеть от заданных пределов для переменных x и y. Для нахождения всех целочисленных решений необходимо либо перебирать значения, либо использовать метод подстановки и проверки.

Данное уравнение имеет бесконечное количество целочисленных решений. Одним из примеров такого решения может быть (x=2, y=3), также можно составить систему уравнений и найти другие целочисленные решения.