5у+1/у+1=у+2/у найти корни уравнение

Для того чтобы найти корни уравнения ( \frac{5y + 1}{y + 1} = \frac{y + 2}{y} ), следуем пошагово:

1. Общий знаменатель: Приведем обе части уравнения к общему знаменателю. В данном случае, общий знаменатель будет ( y(y + 1) ). Умножим обе части уравнения на ( y(y + 1) ):

   [ (5y + 1) \cdot y = (y + 2) \cdot (y + 1) ]

2. Раскрытие скобок: Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

   [ 5y^2 + y = y^2 + 3y + 2 ]

3. Приведение к стандартной форме: Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

   [ 5y^2 + y - y^2 - 3y - 2 = 0 ]

   Упростим:

   [ 4y^2 - 2y - 2 = 0 ]

4. Упрощение уравнения: Разделим обе части уравнения на 2:

   [ 2y^2 - y - 1 = 0 ]

5. Решение квадратного уравнения: Используем формулу для решения квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ):

   [ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

   В нашем случае ( a = 2 ), ( b = -1 ), ( c = -1 ). Подставим эти значения в формулу:

   [ y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} ]

   [ y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} ]

   [ y = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4} ]

   [ y = \frac{1 \pm 3}{4} ]

   Отсюда получаем два решения:

   [ y_1 = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1 ]

   [ y_2 = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} ]

6. Проверка корней: Подставим найденные значения ( y ) обратно в исходное уравнение, чтобы удостовериться, что они не приводят к делению на ноль и являются корректными:

   • Для ( y = 1 ):

     [ \frac{5(1) + 1}{1 + 1} = \frac{1 + 2}{1} \implies \frac{6}{2} = 3 \quad \text{и} \quad \frac{3}{1} = 3 ]

     Уравнение верно.

   • Для ( y = -\frac{1}{2} ):

     [ \frac{5(-\frac{1}{2}) + 1}{-\frac{1}{2} + 1} = \frac{-\frac{5}{2} + 1}{\frac{1}{2}} = \frac{-\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = -3 ]

     [ \frac{-\frac{1}{2} + 2}{-\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}} = -3 ]

     Уравнение верно.

Таким образом, оба найденных значения ( y = 1 ) и ( y = -\frac{1}{2} ) являются корнями уравнения. Ответ: ( y = 1 ) и ( y = -\frac{1}{2} ).

Для решения данного уравнения сначала умножим обе части на у, чтобы избавиться от знаменателей:

5у^2 + 1 + у = у^2 + 2

Далее приведем все слагаемые на одну сторону уравнения:

4у^2 - у - 1 = 0

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения, используя формулу дискриминанта:

D = (-1)^2 - 44(-1) = 1 + 16 = 17

у1,2 = (1 ± √17) / 8

Таким образом, корни уравнения 5у + 1/у + 1 = у + 2/у равны у1 = (1 + √17) / 8 и у2 = (1 - √17) / 8.

Уравнение 5у + 1/у + 1 = у + 2/у имеет корни у = -1 и у = 1.