6 sin^2x-5cosx+5=0 найдите корни уравнения на отрезке [-3П; 5П]

Рассмотрим уравнение:

[ 6 \sin^2(x) - 5 \cos(x) + 5 = 0 ]

Для начала, выразим (\sin^2(x)) через (\cos(x)). Используем основное тригонометрическое тождество:

[ \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) ]

Подставим это в уравнение:

[ 6 (1 - \cos^2(x)) - 5 \cos(x) + 5 = 0 ]

Раскроем скобки и упростим выражение:

[ 6 - 6 \cos^2(x) - 5 \cos(x) + 5 = 0 ]

[ -6 \cos^2(x) - 5 \cos(x) + 11 = 0 ]

Умножим обе части уравнения на -1 для удобства:

[ 6 \cos^2(x) + 5 \cos(x) - 11 = 0 ]

Теперь введем новую переменную ( y = \cos(x) ). Уравнение принимает вид:

[ 6y^2 + 5y - 11 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение методом дискриминанта. Дискриминант (D) равен:

[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-11) ]

[ D = 25 + 264 ]

[ D = 289 ]

Теперь найдем корни уравнения:

[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

[ y_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 6} ]

[ y_{1,2} = \frac{-5 \pm 17}{12} ]

Получим два корня:

[ y_1 = \frac{-5 + 17}{12} = \frac{12}{12} = 1 ]

[ y_2 = \frac{-5 - 17}{12} = \frac{-22}{12} = -\frac{11}{6} ]

Так как (\cos(x)) может принимать значения только в интервале ([-1, 1]), значение (y_2 = -\frac{11}{6}) не подходит, так как оно выходит за границы этого интервала. Остается единственное решение:

[ \cos(x) = 1 ]

Теперь найдем все значения (x) на отрезке ([-3\pi; 5\pi]), при которых (\cos(x) = 1). Это происходит в точках (x = 2k\pi), где (k) — целое число.

Найдём, какие из этих точек находятся на нашем отрезке:

[ -3\pi \leq 2k\pi \leq 5\pi ]

Разделим все части неравенства на (2\pi):

[ -\frac{3}{2} \leq k \leq \frac{5}{2} ]

Целые значения (k) в этом интервале: (-1, 0, 1, 2).

Соответствующие значения (x):

[ x = -2\pi, 0, 2\pi, 4\pi ]

Таким образом, корни уравнения на отрезке ([-3\pi; 5\pi]) — это:

[ x = -2\pi, 0, 2\pi, 4\pi ]

Для решения уравнения 6sin^2x - 5cosx + 5 = 0 на отрезке [-3π; 5π] мы должны использовать тригонометрические тождества, чтобы преобразовать уравнение в более удобную форму. В данном случае мы можем использовать тождество sin^2x + cos^2x = 1, чтобы заменить sin^2x в уравнении.

Подставим sin^2x = 1 - cos^2x в уравнение:

6(1 - cos^2x) - 5cosx + 5 = 0 6 - 6cos^2x - 5cosx + 5 = 0 -6cos^2x - 5cosx + 11 = 0

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно cosx. Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-5)^2 - 4(-6)11 = 25 + 264 = 289

cosx = (-(-5) ± √289) / (2*(-6)) cosx = (5 ± 17) / -12

cosx1 = (5 + 17) / -12 = 22 / -12 = -11 / 6 cosx2 = (5 - 17) / -12 = -12 / -12 = 1

Теперь найдем соответствующие значения sinx, используя тождество sin^2x + cos^2x = 1:

sinx1 = ±√(1 - cos^2x) = ±√(1 - (-11/6)^2) = ±√(1 - 121/36) = ±√(36 - 121) / 36 = ±√(-85) / 6 sinx2 = ±√(1 - cos^2x) = ±√(1 - 1^2) = ±√0 = 0

Таким образом, корнями уравнения 6sin^2x - 5cosx + 5 = 0 на отрезке [-3π; 5π] являются следующие значения x:

1) x1: (arccos(-11/6), arcsin(-√85/6)) 2) x2: (arccos(1), arcsin(0))

После того, как мы нашли корни уравнения, остается только проверить их на соответствие заданному отрезку [-3π; 5π].

Для того чтобы найти корни уравнения 6 sin^2x-5cosx+5=0 на отрезке [-3П; 5П], необходимо решить данное уравнение методом подстановки и проверить каждый корень на принадлежность заданному отрезку.