6/cos^2(23градуса) - cos^2(113градусов)
6/cos^2(23градуса) - cos^2(113градусов)
Для того чтобы решить выражение ( \frac{6}{\cos^2(23^\circ)} - \cos^2(113^\circ) ), давайте рассмотрим каждую его часть по отдельности.
Выражение ( \cos^2(23^\circ) ) можно записать как ( (\cos(23^\circ))^2 ). Значение косинуса для угла 23 градуса находится в первой четверти тригонометрической окружности, поэтому оно положительно.
Для начала, заметим, что угол 113 градусов лежит во второй четверти, где косинус отрицателен. Однако, так как мы возводим его в квадрат, результат будет положительным.
Используем свойство косинуса: ( \cos(x) = -\cos(180^\circ - x) ). Тогда: [ \cos(113^\circ) = -\cos(180^\circ - 113^\circ) = -\cos(67^\circ) ] Соответственно: [ \cos^2(113^\circ) = (-\cos(67^\circ))^2 = \cos^2(67^\circ) ]
Теперь мы можем объединить оба слагаемых: [ \frac{6}{\cos^2(23^\circ)} - \cos^2(113^\circ) = \frac{6}{\cos^2(23^\circ)} - \cos^2(67^\circ) ]
Заметим, что ( \cos(67^\circ) ) можно переписать через синус, используя тригонометрическую идентичность: [ \cos(67^\circ) = \sin(23^\circ) ] Следовательно: [ \cos^2(67^\circ) = \sin^2(23^\circ) ]
Теперь мы можем записать выражение: [ \frac{6}{\cos^2(23^\circ)} - \sin^2(23^\circ) ]
Используем основное тригонометрическое тождество: [ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 ] для угла ( 23^\circ ): [ \sin^2(23^\circ) = 1 - \cos^2(23^\circ) ]
Заменим ( \sin^2(23^\circ) ) в нашем выражении: [ \frac{6}{\cos^2(23^\circ)} - (1 - \cos^2(23^\circ)) ] [ = \frac{6}{\cos^2(23^\circ)} - 1 + \cos^2(23^\circ) ]
Таким образом, конечное выражение будет: [ \frac{6}{\cos^2(23^\circ)} - 1 + \cos^2(23^\circ) ]
Это и есть упрощённый вид исходного выражения.
Для решения данного выражения сначала вычислим cos(23°) и cos(113°), затем подставим полученные значения в исходное выражение.
cos(23°) ≈ 0,9205 cos(113°) ≈ -0,3894
Теперь подставляем значения:
6/cos^2(23°) - cos^2(113°) = 6/(0,9205)^2 - (-0,3894)^2 = 6/0,8476 - 0,1519 ≈ 7,07 - 0,1519 ≈ 6,9181
Итак, значение данного выражения равно примерно 6,9181.
