а) Решите уравнение: tg2x+5 tgx+6=0 б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2пи; -пи/2]
а) Решите уравнение: tg2x+5 tgx+6=0 б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2пи; -пи/2]
а) Уравнение tg^2x + 5tgx + 6 = 0 б) Корни уравнения на отрезке [-2π; -π/2]: x = -3π/4, -π/2
а) Для решения уравнения tg2x + 5 tgx + 6 = 0 воспользуемся формулой двойного угла для тангенса: tg2x = 2tgx / (1 - tg^2x). Но для упрощения решения уместнее будет использовать подстановку. Пусть t = tgx, тогда tg2x = 2t / (1 - t^2), и уравнение принимает вид:
2t / (1 - t^2) + 5t + 6 = 0.
Приведем данное уравнение к общему знаменателю: 2t + 5t(1 - t^2) + 6(1 - t^2) = 0, 2t + 5t - 5t^3 + 6 - 6t^2 = 0, -5t^3 - 6t^2 + 7t + 6 = 0.
Разложим это уравнение на множители. Один из способов - подставить возможные значения (например, целые числа) и проверить, является ли это корнем уравнения. Подставляя t = -1, получаем: -5(-1)^3 - 6(-1)^2 + 7(-1) + 6 = 5 - 6 - 7 + 6 = -2 ≠ 0.
Подставляя t = -2, получаем: -5(-2)^3 - 6(-2)^2 + 7(-2) + 6 = -40 - 24 - 14 + 6 = -72 ≠ 0.
Проверяем t = -1/2: -5(-1/2)^3 - 6(-1/2)^2 + 7(-1/2) + 6 = 5/8 - 3/2 - 7/2 + 6 = 48/8 - 12/8 - 28/8 + 48/8 = 56/8 - 40/8 = 16/8 = 2 ≠ 0.
Продолжаем подбор корней или используем другие методы алгебры (разложение на множители, теорему Безу, схему Горнера и т.д.), чтобы найти корни уравнения. После нахождения корней, мы подставляем их обратно в переменную x через x = arctg(t).
б) Для нахождения корней уравнения на интервале [-2π; -π/2], необходимо рассмотреть значения t = tgx на этом интервале. Тангенс функция периодическая с периодом π, поэтому достаточно рассмотреть интервал [0; π] для t и сдвинуть его на соответствующие значения влево (на -π, -2π и т.д.).
Таким образом, найденные значения x (или t) нужно подставить в уравнение для x = arctg(t) и проверить, какие из них удовлетворяют заданному интервалу для x. Нужно учитывать, что arctg(t) возвращает значения в интервале (-π/2; π/2), и дополнительные решения можно получить, добавляя к ним πk, где k - целые числа.
а) Для решения уравнения tg(2x) + 5tg(x) + 6 = 0 преобразуем его к виду tg(2x) + tg(x) + 4tg(x) + 2tg(x) + 6 = 0. Заметим, что tg(2x) + tg(x) = tg(x)(2tg(x) + 1), а 4tg(x) + 2tg(x) = 6tg(x). Тогда уравнение примет вид tg(x)(2tg(x) + 1) + 6tg(x) + 6 = 0. Далее, вынося общий множитель, получим tg(x)(2tg(x) + 7) + 6 = 0. Решим это уравнение: tg(x) = 0 или tg(x) = -7/2. Из первого уравнения x = kπ, где k - целое число. Из второго уравнения можно найти два значения x: x = arctg(0) = 0 и x = arctg(-7/2).
б) Найдем все корни уравнения tg(2x) + 5tg(x) + 6 = 0, принадлежащие отрезку [-2π; -π/2]. Подставим граничные значения в уравнение и найдем корни: при x = -2π: tg(-4π) + 5tg(-2π) + 6 = 0, при x = -π/2: tg(-π) + 5tg(-π/2) + 6 = 0. Вычислим значения и найдем все корни уравнения на указанном отрезке.
