Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.
Для решения задачи обозначим через ( a_1 ) количество метров, которое бригада покрасила в первый день, а через ( a_n ) — количество метров, которое бригада покрасила в последний день. Мы знаем, что:
[ a_1 + a_n = 60. ]
Бригада увеличивала норму покраски ежедневно на одно и то же число метров, обозначим это число через ( d ). Тогда количество метров, покрашенных на ( k )-й день, можно выразить как:
[ a_k = a_1 + (k-1)d. ]
Сумма всех покрашенных метров за ( n ) дней равна 240 метрам, поэтому:
[ a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + \ldots + (a_1 + (n-1)d) = 240. ]
Это арифметическая прогрессия, и её сумма ( S_n ) выражается формулой:
[ S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n). ]
Подставим в формулу известные значения:
[ \frac{n}{2} \times 60 = 240. ]
Отсюда получаем:
[ 30n = 240, ]
[ n = \frac{240}{30} = 8. ]
Таким образом, бригада маляров красила забор 8 дней.
Предположим, что бригада маляров увеличивает норму покраски на (x) метров в день.
Таким образом, за первый день бригада покрасила (x) метров, за последний день - тоже (x) метров, а за все остальные дни бригада покрасила (240 - 2x) метров.
Из условия задачи мы знаем, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров, то есть (x + x = 60), откуда получаем, что (x = 30).
Теперь подставим (x = 30) в выражение для всех остальных дней: (240 - 2 \cdot 30 = 180).
Итак, бригада маляров красила весь забор 240 метров за (1 + 1 + 180/30 = 7) дней.
