Бросают два игральных кубика: белый и красный. рассматривают события:А- на белом кубике выпало нечетное...

Для того чтобы показать, что события A и B являются независимыми, необходимо показать, что вероятность их пересечения равна произведению вероятностей этих событий.

P(A) = P(не четное на белом кубике) = 3/6 = 1/2

P(B) = P(больше 4) = 2/6 = 1/3

P(A ∩ B) = P(не четное на белом кубике и больше 4) = P(5) = 1/6

Теперь проверим независимость: P(A) P(B) = (1/2) (1/3) = 1/6 = P(A ∩ B)

Таким образом, события A и B являются независимыми.

Для того чтобы показать, что события A и B являются независимыми, необходимо доказать равенство условной вероятности их пересечения произведению вероятностей каждого из событий.

Пусть С - событие, состоящее из всех исходов, при которых выполняется условие события A (на белом кубике выпало нечетное количество очков), а D - событие, состоящее из всех исходов, при которых выполняется условие события B (на кубике выпало число очков больше 4).

Тогда вероятность события A равна P(A) = P(C) = 1/2 (так как на белом кубике 3 нечетных и 3 четных числа).

Вероятность события B равна P(B) = P(D) = 1/3 (так как на кубике 2, 3, 4, 5 и 6 - больше 4).

Вероятность пересечения событий A и B равна P(A ∩ B) = P(C ∩ D) = 1/6 (так как в пересечении событий С и D находится только число 5).

Теперь проверим выполнение условия независимости событий A и B:

P(A ∩ B) = P(A) P(B) 1/6 = (1/2) (1/3) 1/6 = 1/6

Таким образом, события A и B являются независимыми.

Чтобы показать, что события ( A ) и ( B ) являются независимыми, нам нужно доказать, что выполняется следующее условие:

[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) ]

где ( P(A \cap B) ) — вероятность того, что оба события ( A ) и ( B ) происходят одновременно, ( P(A) ) — вероятность события ( A ), а ( P(B) ) — вероятность события ( B ).

1. Определим вероятности для событий ( A ) и ( B ):

• Событие ( A ): На белом кубике выпадает нечетное количество очков. На стандартном игральном кубике возможные нечетные числа: 1, 3, 5. Всего три нечетных числа. Вероятность ( P(A) ) равна отношению количества нечетных чисел к общему количеству возможных исходов (6):

  [ P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} ]

• Событие ( B ): На любом из кубиков выпадает число очков больше 4. Возможные числа: 5 и 6. Таким образом, вероятность ( P(B) ) также равна:

  [ P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} ]

2. Определим вероятность совместного события ( A \cap B ):

Событие ( A \cap B ) означает, что на белом кубике выпадает нечетное количество очков и одновременно на любом из кубиков выпадает число больше 4. Рассмотрим отдельно каждый кубик:

• На белом кубике числа, удовлетворяющие обоим условиям: только 5 (нечетное и > 4).
• На красном кубике числа, удовлетворяющие условию ( B ), — 5 и 6.

Теперь посчитаем количество благоприятных исходов для совместного события:

• Белый кубик: 1 (выпало 5)
• Красный кубик: 2 (выпало 5 или 6)

Всего для пары (белый, красный) имеется ( 1 \times 2 = 2 ) благоприятных исхода. Общее число возможных исходов при броске двух кубиков: ( 6 \times 6 = 36 ).

Таким образом, вероятность ( P(A \cap B) ) равна:

[ P(A \cap B) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} ]

3. Проверим условие независимости:

Теперь проверим, выполняется ли условие независимости:

[ P(A) \cdot P(B) = \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{6} ]

Как видно, ( P(A \cap B) = \frac{1}{18} \neq \frac{1}{6} ), поэтому события ( A ) и ( B ) являются зависимыми, а не независимыми.