Бросают одну игральную кость. событие А - выпало четное число очков. являются ли независимыми события...

Для того чтобы определить, являются ли события А $выпадениечетногочислаочков$ и В $выпадениечислаочков,кратного3или5$ независимыми, нужно сравнить вероятность совместного наступления этих событий с произведением вероятностей каждого события в отдельности.

а) Если событие В состоит в том, что выпало число очков, кратное 3, то вероятность события В равна 1/6 $таккаксуществуетдвачисла,кратных3наигральнойкостиизобщегочиславозможныхисходов6$. Вероятность события А $выпадениечетногочислаочков$ также равна 1/2.

Если события А и В были бы независимыми, то вероятность совместного наступления событий А и В равнялась бы произведению их вероятностей, т.е. 1/2 * 1/6 = 1/12. Однако, поскольку из всех чисел, кратных 3, только половина также являются четными, вероятность совместного наступления событий А и В составляет 1/12, что не равно произведению вероятностей событий А и В. Следовательно, события А и В в данном случае не являются независимыми.

б) Аналогично, если событие В состоит в том, что выпало число очков, кратное 5, то вероятность события В равна 1/6 $таккаксуществуеттолькоодночисло,кратное5наигральнойкостиизобщегочиславозможныхисходов6$. Вероятность события А $выпадениечетногочислаочков$ также равна 1/2.

Снова, если события А и В были бы независимыми, то вероятность совместного наступления событий А и В равнялась бы произведению их вероятностей, т.е. 1/2 * 1/6 = 1/12. Однако, аналогично предыдущему случаю, из всех чисел, кратных 5, только половина также являются четными, а значит вероятность совместного наступления событий А и В составляет 1/12, что не равно произведению вероятностей событий А и В. Следовательно, и в этом случае события А и В не являются независимыми.

Для того чтобы оценить независимость событий $A$ и $B$, нужно использовать определение независимости. Два события $A$ и $B$ независимы, если вероятность их пересечения равна произведению их вероятностей, то есть $P(A\cap B$ = P$A$ \cdot P$B$ ).

Рассмотрим каждое условие:

a) Событие $B$ состоит в том, что выпало число очков, кратное 3

Набор возможных исходов при броске одной игральной кости: $1,2,3,4,5,6$.

• Событие $A$ $выпалочетноечислоочков$: $A=2,4,6$.
• Событие $B$ $выпалочислоочков,кратное3$: $B=3,6$.

Теперь найдем вероятность каждого события:

• $P(A$ = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} )
• $P(B$ = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} )

Пересечение событий $A$ и $B$ $выпалочетноечислоочковичислоочковкратное3$:

• $A\cap B=6$,
• $P(A\cap B$ = \frac{1}{6} ).

Проверяем независимость: $P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$

Так как $P(A\cap B$ = P$A$ \cdot P$B$ ), события $A$ и $B$ независимы.

б) Событие $B$ состоит в том, что выпало число очков, кратное 5

• Событие $B$ $выпалочислоочков,кратное5$: $B=5$.

Теперь найдем вероятность:

• $P(B$ = \frac{1}{6} )

Пересечение событий $A$ и $B$ $выпалочетноечислоочковичислоочковкратное5$:

• $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$,
• $P(A\cap B$ = 0 ).

Проверяем независимость: $P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{12}$

Так как $P(A\cap B$ \neq P$A$ \cdot P$B$ ), события $A$ и $B$ не являются независимыми.

Итак, в случае а) события $A$ и $B$ независимы, а в случае б) события $A$ и $B$ не являются независимыми.