Бросают одну игральную кость. событие А - выпало четное число очков. являются ли независимыми события...

Для того чтобы определить, являются ли события А (выпадение четного числа очков) и В (выпадение числа очков, кратного 3 или 5) независимыми, нужно сравнить вероятность совместного наступления этих событий с произведением вероятностей каждого события в отдельности.

а) Если событие В состоит в том, что выпало число очков, кратное 3, то вероятность события В равна 1/6 (так как существует два числа, кратных 3 на игральной кости из общего числа возможных исходов 6). Вероятность события А (выпадение четного числа очков) также равна 1/2.

Если события А и В были бы независимыми, то вероятность совместного наступления событий А и В равнялась бы произведению их вероятностей, т.е. 1/2 * 1/6 = 1/12. Однако, поскольку из всех чисел, кратных 3, только половина также являются четными, вероятность совместного наступления событий А и В составляет 1/12, что не равно произведению вероятностей событий А и В. Следовательно, события А и В в данном случае не являются независимыми.

б) Аналогично, если событие В состоит в том, что выпало число очков, кратное 5, то вероятность события В равна 1/6 (так как существует только одно число, кратное 5 на игральной кости из общего числа возможных исходов 6). Вероятность события А (выпадение четного числа очков) также равна 1/2.

Снова, если события А и В были бы независимыми, то вероятность совместного наступления событий А и В равнялась бы произведению их вероятностей, т.е. 1/2 * 1/6 = 1/12. Однако, аналогично предыдущему случаю, из всех чисел, кратных 5, только половина также являются четными, а значит вероятность совместного наступления событий А и В составляет 1/12, что не равно произведению вероятностей событий А и В. Следовательно, и в этом случае события А и В не являются независимыми.

Для того чтобы оценить независимость событий ( A ) и ( B ), нужно использовать определение независимости. Два события ( A ) и ( B ) независимы, если вероятность их пересечения равна произведению их вероятностей, то есть ( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) ).

Рассмотрим каждое условие:

a) Событие ( B ) состоит в том, что выпало число очков, кратное 3

Набор возможных исходов при броске одной игральной кости: ( {1, 2, 3, 4, 5, 6} ).

• Событие ( A ) (выпало четное число очков): ( A = {2, 4, 6} ).
• Событие ( B ) (выпало число очков, кратное 3): ( B = {3, 6} ).

Теперь найдем вероятность каждого события:

• ( P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} )
• ( P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} )

Пересечение событий ( A ) и ( B ) (выпало четное число очков и число очков кратное 3):

• ( A \cap B = {6} ),
• ( P(A \cap B) = \frac{1}{6} ).

Проверяем независимость: [ P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} ]

Так как ( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) ), события ( A ) и ( B ) независимы.

б) Событие ( B ) состоит в том, что выпало число очков, кратное 5

• Событие ( B ) (выпало число очков, кратное 5): ( B = {5} ).

Теперь найдем вероятность:

• ( P(B) = \frac{1}{6} )

Пересечение событий ( A ) и ( B ) (выпало четное число очков и число очков кратное 5):

• ( A \cap B = \emptyset ),
• ( P(A \cap B) = 0 ).

Проверяем независимость: [ P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12} ]

Так как ( P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B) ), события ( A ) и ( B ) не являются независимыми.

Итак, в случае а) события ( A ) и ( B ) независимы, а в случае б) события ( A ) и ( B ) не являются независимыми.