Число сотен трёхзначного числа в 2 раза меньше числа десятков и в 3 раза меньше числа единиц. Доказать,...

Пусть трехзначное число равно 100a + 10b + c, где a - количество сотен, b - количество десятков, c - количество единиц.

Из условия задачи имеем: a = b/2, a = c/3.

Так как a, b, c - целые числа, то a, b, c могут быть равны только 0, 2, 4, 6, 8, соответственно. Подставим эти значения в выражение для трехзначного числа и найдем все возможные варианты: 200 + 20 + 2 = 222, 400 + 40 + 4 = 444, 600 + 60 + 6 = 666, 800 + 80 + 8 = 888.

Теперь найдем числа, записанные теми же цифрами в обратном порядке: 222 -> 222, 444 -> 444, 666 -> 666, 888 -> 888.

Сложим трехзначное число и число, записанное теми же цифрами в обратном порядке: 222 + 222 = 444, 444 + 444 = 888, 666 + 666 = 1332, 888 + 888 = 1776.

Проверим каждое из полученных чисел на делимость на 4: 444 = 4 111, 888 = 4 222, 1332 = 4 333, 1776 = 4 444.

Таким образом, сумма трехзначного числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, действительно делится на 4.

Пусть трёхзначное число XYZ. Тогда условие задачи можно записать как: 100X + 10Y + Z = 2(10X + Y) = 3Z

Выразим X, Y и Z через другие переменные: X = 3Z/100 Y = 6Z/10 Z = 10Z/3

Теперь найдем сумму числа и числа, записанного в обратном порядке: 100X + 10Y + Z + 100Z + 10Y + X = 101(3Z/100) + 20(6Z/10) + 101(10Z/3) = 303Z/100 + 120Z/10 + 1010Z/3 = 909Z/100 + 120Z + 1010Z/3

Далее, докажем, что данное выражение делится на 4: 909Z/100 + 120Z + 1010Z/3 = 9Z/4 + 120Z + 337Z = 9Z/4 + 120Z + 337Z = 9Z/4 + 120Z + 337Z = (9Z + 480Z + 1348Z)/4 = 1837Z/4

Так как числитель кратен 4, получаем, что сумма числа и числа, записанного в обратном порядке, делится на 4.

Рассмотрим трёхзначное число, обозначим его как ( \overline{abc} ), где ( a ), ( b ) и ( c ) — это цифры сотен, десятков и единиц соответственно. Согласно условию задачи, мы имеем следующие соотношения:

1. ( b = 2a ) (число десятков в 2 раза больше числа сотен),
2. ( c = 3a ) (число единиц в 3 раза больше числа сотен).

Теперь выразим само число ( \overline{abc} ). Это число можно записать в виде:

[ 100a + 10b + c ]

Подставим выражения для ( b ) и ( c ):

[ 100a + 10(2a) + 3a = 100a + 20a + 3a = 123a ]

Теперь рассмотрим число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, ( \overline{cba} ):

[ 100c + 10b + a ]

Подставим выражения для ( b ) и ( c ) из условий:

[ 100(3a) + 10(2a) + a = 300a + 20a + a = 321a ]

Теперь найдём сумму этих двух чисел:

[ 123a + 321a = 444a ]

Нужно доказать, что эта сумма делится на 4. Рассмотрим число 444:

[ 444 \div 4 = 111 ]

Таким образом, 444 делится на 4. Следовательно, произведение ( 444a ) также делится на 4 для любого целого числа ( a ).

Таким образом, мы доказали, что сумма числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, делится на 4.