Cos x больше или равно 1/2

Для решения неравенства (\cos x \geq \frac{1}{2}) следует рассмотреть свойства косинуса и определить, в каких интервалах на единичной окружности это условие выполняется.

1. Периодичность косинуса: Косинус — периодическая функция с периодом (2\pi). Это значит, что если (\cos x = y), то (\cos(x + 2\pi n) = y) для любого целого числа (n).

2. Основной интервал: Рассмотрим, когда (\cos x = \frac{1}{2}). Это происходит в точках (x = \frac{\pi}{3}) и (x = -\frac{\pi}{3}) (или, эквивалентно, (x = \frac{5\pi}{3}) в положительном направлении).

3. Интервалы для неравенства:

   • На единичной окружности (\cos x) принимает значение (\frac{1}{2}) в точках (\frac{\pi}{3}) и (\frac{5\pi}{3}).
   • Косинус положителен и больше (\frac{1}{2}) на интервале от (-\frac{\pi}{3}) до (\frac{\pi}{3}) и симметрично от (\frac{5\pi}{3}) до (2\pi).

4. Общий вид решения:

   • Учитывая периодичность, решение неравенства (\cos x \geq \frac{1}{2}) можно записать в виде: [ x \in \left[2\pi n - \frac{\pi}{3}, 2\pi n + \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[2\pi n + \frac{5\pi}{3}, 2\pi n + 2\pi\right] ] где (n) — любое целое число.

Эта запись описывает все интервалы на числовой прямой, где значение косинуса удовлетворяет заданному неравенству. Косинус принимает значения от (-1) до (1), и в указанных интервалах он больше или равен (\frac{1}{2}).

Для того чтобы найти значения угла ( x ), для которых ( \cos(x) \geq \frac{1}{2} ), необходимо рассмотреть график функции ( y = \cos(x) ) на интервале от 0 до ( 2\pi ). Углы, для которых ( \cos(x) \geq \frac{1}{2} ), находятся в первом и четвертом квадрантах графика косинуса.

В первом квадранте значения косинуса положительны, поэтому достаточно найти значения угла ( x ), для которых ( \cos(x) = \frac{1}{2} ). Такие значения угла равны ( x = \frac{\pi}{3} ) и ( x = \frac{5\pi}{3} ).

В четвертом квадранте значения косинуса также положительны, поэтому аналогичные значения угла можно найти, отражая значения из первого квадранта относительно оси ( x ). Таким образом, дополнительные значения угла равны ( x = \frac{7\pi}{3} ) и ( x = \frac{11\pi}{3} ).

Итак, углы ( x ), для которых ( \cos(x) \geq \frac{1}{2} ), равны ( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k ) и ( x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k ), где ( k \in \mathbb{Z} ).